On considère une surface définie par $S=\{(x,y,z)\in \R^3,\, (x,y)\in U \subset\R^2, \,z=f(x,y)\}$, avec
$U$ un ouvert de $\R^2$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\R$.
Pour $a=(x_0,y_0)\in U$, on définit les fonctions partielles en $a$, par
$$\forall t\in \R,\, \text{ tel que } (t,y_0)\in U,\quad f_{a,x}(t)=f(t,y_0).$$
$$\forall t\in \R,\, \text{ tel que } (x_0,t)\in U,\quad f_{a,y}(t)=f(x_0,t).$$
On dit que $f$ admet une dérivée partielle dans la direction de $x$ (resp $y$) ssi la fonction $f_{a,x}$ (resp. $f_{a,y}$) est dérivable en
$x_0$ (resp $y_0$). (c.f. le cours).
Le plan tangente à la surface au point $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ peut être déterminé en utilisant les dérivées partielles, avce la formule:
$$z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \left( x-x_0\right)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \left( y-y_0\right),\,\text{ avec } z_0=f(x_0,y_0).$$
L'exemple ci-après est une surface de $\R^3$, $f$ est définie sur le rectange jaune (dans la fenêtre droite).
Faite bouger le point (dans $U$) pour voir son image sur la surface, vous pouvez aussi tracer les fonctions partielles,
pour cela, il suffit de cliquer sur le bouton Fnct partielles
Vous pouvez aussi changer la fonction $f$ (l'expression de $f$ doit être écrit comme dans un script Python) .