Programme de colle

Révision du programme de 1^ère année

1. Analyse: Dérivation, intégration, développement limité.
2. Algèbre: Bases d'un s-e-v, applications linéaires, matrice d'une application linéaire.

I. Révision du programme de 1^ère année

1. Analyse: Dérivation, intégration, développement limité.
2. Algèbre: Bases d'un s-e-v, applications linéaires, matrice d'une application linéaire.

II. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   Savoir montrer qu'une boule ouvert/fermé est un ensemble convexe
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   Savoir montrer que si $C$ est convexe alors $\overset{\circ}{C},\, \overline{C}$ le sont également
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

I. Révision du programme de 1^ère année

II. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite ($\star$).
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

III. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite ($\star$)
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

I. Espaces vectoriels normés

1. Définition d'une norme, distance, boule ouverte, fermée.
2. Exemples classiques des normes. Équivalences des normes.
3. Ensemble convexe, borné.
   
4. Définition d'un ensemble ouvert (resp. fermé), propriétés
5. Définition de voisinage, intérieur, adhérence.
   
6. Suites d'un e-v-n de dimension finie:
   1. Définition d'une suite, convergence, unicité de la limite.
   2. Une suite convergente est bornée ($\star$)
   3. Caractérisation séquentielle de l'adhérence (resp. fermé)
   4. Lien entre une suite convergente et la convergence de ses suites coordonnées .

II. Étude locale des fonctions

$E,\,F$ 2 EVN de dimension finie. $f$ est une application de $D$ une partie non vide de $E$ dans $F$.

1. Limites:
   1. Soit $A\subset D$ et $a\in \overline{A}$. Définition de la limite de $f$ en $a$ selon $A$.
   2. Unicité de la limite ($\star$)
   3. Si $f$ admet une limite alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ (dans $A$) ($\star$)
   4. Caractérisation séquentielle de la limite
      Savoir utiliser ce résultat pour montrer que $\sin(1/x)$ n'admet pas de limite en $0$
2. Continuité
   1. Définition de la continuité de $f$ en $a$.
   2. Prolongement par continuité
   3. Caractérisation séquentielle de la continuité
   4. Continuité globale, opérations sur les fonctions continues
   5. Image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une fonction continue
   6. Image d'un fermé borné par une fonction continue ($E$ est de dimension fini), cas ou $F=\R$
3. Applications lipschitzienne: Définitions, propriétés.
4. Applications linéaires continues, caractérisation.

III. Matrice d'une application linéaire

1. Matrice d'une application linéaire.
2. Matrice de passage entre deux bases

I. Matrice d'une application linéaire

1. Matrice d'une application linéaire.
2. Matrice de passage entre deux bases

II. Séries numériques

1. Rappels de cours de 1^èreannée sur les séries numériques:
   1. Définition d'une série, convergence, reste d'ordre $n$.
   2. Série classiques: $\dsum q^n$, séries télescopiques.
   3. Série réelles à termes positifs: Critères de comparaisons, règle de D'Alembert.
2. Série alternés: Définition, critère spécial des séries alternées ($\star$).
3. Comparaison série-intégrale: Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle de la forme $[n_0,+\infty[$ ($n_0\in\N$), à valeurs réelles positives et décroissante. Alors : $$\text{la série }\sum f(n) \text{ converge ssi } \dsp \int_{n_0}^{+\infty}f \text{ existe}\quad (\star)$$ et/ou la version suivante: $$ \text{ la série de terme générale } \dsp\int_n^{n+1}f(t)\ud t -f(n+1) \text{ est convergente}.\quad (\star)$$
4. Formule de Stirling.
5. Définition de produit de Cauchy de deux séries. Application: définition de l'exponentielle d'un nombre complexe. $$\forall z_1,z_2\in \C,\quad \exp (z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)\quad\quad (\star).$$

I. Séries numériques

tous sur les séries numériques (voir aussi programme de colle semaine 5)

II. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.

I. Applications linéaires

1. Définition d'une application linéaire, définition de l'image, noyau d'une application linéaire.
2. Si $f\in \LL(E,F)$ et $E'$ (resp. $F'$) est un s-e-v de $E$ (resp. de $F$) alors $f(E')$ (resp. $f^{-1}(F')$) est un s-e-v de $F$ (resp. de $E$) ($\star$)
3. Polynômes d'interpolation de Lagrange ($\star$)

   Si $(a_0,\cdots,a_n)$ sont des points deux à deux distincts, alors il existe une unique famille $(L_j)_{j\in \inter{0,n}}$ telle que $L_j(a_i)=\delta_{i,j}$ Savoir montrer que $(L_j)$ est une base de $\K_n[X]$, savoir donner les coordonnées de $P$ dans cette base, savoir calculer $\dsum_{0\leq i\leq n}L_i$. Connaitre la formule de $L_j$ puis être capable de calculer $L_j$ (pour $n=2$ ou $3$)

4. Projecteur, symétrie: Définitions et propriétés. En particulier :
   1. Si $p$ est un projecteur de $E$ alors $E= \im (p)\oplus \Ker(p)\quad (\star)$.
   2. Si $s$ est une symétrie de $E$ alors $E=\mathrm{Inv}(s)\oplus \mathrm{Opp}(s)\quad (\star)$.
5. Théorème du rang, applications.

II. Intégrales impropres

$I$ désigne un intervalle de $\R$ de type $[a,b[,\,]a,b]$ où $]a,b[$ avec $-\infty\leq a < b\leq \infty$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$ dans $\K$.

1. Définition de l'intégrale impropre $\dsp\int_If(x)\ud x$, cas d'intégrale faussement impropre.
   Donner des exemples de $f$ telle que $\dsp\int_a^\infty f$ CV et $\dsp \lim_{x\to \infty} f(x)$ n'existe pas ($\star$)
2. Propriétés des intégrales impropres.
3. Cas des fonctions à valeurs réelles positives. Théorèmes de comparaison . Fonctions de références.
4. Utilisation de changement de variable, IPP, primitive pour le calcul des intégrales impropres convergentes. $$ \text{ Utiliser une IPP pour montrer la CV de } \dsp\int_0^\infty \dfrac{\sin(t)}{t}\ud t\,\, (\star)$$ $$\text{Savoir montrer avec IPP, } \forall x > 0,\quad \Gamma(x)=(x-1)\Gamma (x-1).$$
5. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. $$\text{Savoir montrer que } \dsp\int_0^\infty\abs{\dfrac{\sin(t)}{t}}\ud t \text{ diverge } (\star).$$

I. Intégrales impropres

$I$ désigne un intervalle de $\R$ de type $[a,b[,\,]a,b]$ où $]a,b[$ avec $-\infty\leq a < b\leq \infty$ et $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$ dans $\K$.

1. Définition de l'intégrale impropre $\dsp\int_If(x)\ud x$, cas d'intégrale faussement impropre.
   Donner des exemples de $f$ telle que $\dsp\int_a^\infty f$ CV et $\dsp \lim_{x\to \infty} f(x)$ n'existe pas ($\star$)
2. Propriétés des intégrales impropres.
3. Cas des fonctions à valeurs réelles positives. Théorèmes de comparaison . Fonctions de références.
4. Utilisation de changement de variable, IPP, primitive pour le calcul des intégrales impropres convergentes. $$ \text{ Utiliser une IPP pour montrer la CV de } \dsp\int_0^\infty \dfrac{\sin(t)}{t}\ud t\,\, (\star)$$ $$\text{Savoir montrer avec IPP, } \forall x > 0,\quad \Gamma(x)=(x-1)\Gamma (x-1).$$
5. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. $$\text{Savoir montrer que } \dsp\int_0^\infty\abs{\dfrac{\sin(t)}{t}}\ud t \text{ diverge } (\star).$$

II. Calucls matricielles

1. Les bases de 1ère année (définitions, calculer l'inverse d'une matrice, matrice d'une application linéaire, matrice de passage, ...) 🌦 en particulière savoir la signification de mot rang d'une matrice 🌡 mais aussi si $A\in \MM_n(\K)$ de rang 1 alors $A$ est le produit de ....
2. Définition de trace d'une matrice (resp. application linéaire), propriétés ($\star$). Savoir montrer que $\tr$ est une forme linéaire, $\tr(AB)=\tr(BA)$, deux matrices semblables ont la même trace ...
3. Matrices par blocs, opérations matricielles par blocs.
4. Polynôme d'une matrice (resp. endomorphisme), polynôme annulateur (Existence $\star$). La notion du polynôme minimale est hors programme!!!!

I. Calucls matricielles

1. Les bases de 1ère année (définitions, calculer l'inverse d'une matrice, matrice d'une application linéaire, matrice de passage, ...) 🌦 en particulière savoir la signification de mot rang d'une matrice 🌡 mais aussi si $A\in \MM_n(\K)$ de rang 1 alors $A$ est le produit de ....
2. Définition de trace d'une matrice (resp. application linéaire), propriétés ($\star$). Savoir montrer que $\tr$ est une forme linéaire, $\tr(AB)=\tr(BA)$, deux matrices semblables ont la même trace ...
3. Matrices par blocs, opérations matricielles par blocs.
4. Polynôme d'une matrice (resp. endomorphisme), polynôme annulateur (Existence $\star$). La notion du polynôme minimale est hors programme!!!!

II. Suites et séries de fonctions

$I$ est un intervalle de $\R$ non vide et non réduit à un points.

1. Suites de fonctions :
   1. Définition de la convergence simple, uniforme, uniforme locale pour une suite de fonction $f_n:I\longmapsto \K$. Exemples et contre exemples.
   2. Continuité de la limites d'une suite $f_n$ qui CU vers $f$ avec les fonctions $f_n$ continues.
   3. Interversion limite-intégrale sur un segment ($\star$).
   4. Dérivation d'une suite de fonctions ($\star$).
2. Séries de fonctions :
   1. Convergence simple, uniforme, uniforme locale et convergence en norme.
   2. Propriétés de la somme d'une série de fonction : Continuité, dérivabilité et intégration sur un segment.

I. Suites et séries de fonctions

$I$ est un intervalle de $\R$ non vide et non réduit à un points.

1. Suites de fonctions :
   1. Définition de la convergence simple, uniforme, uniforme locale pour une suite de fonction $f_n:I\longmapsto \K$. Exemples et contre exemples.
   2. Continuité de la limites d'une suite $f_n$ qui CU vers $f$ avec les fonctions $f_n$ continues.
   3. Interversion limite-intégrale sur un segment ($\star$).
   4. Dérivation d'une suite de fonctions ($\star$).
2. Séries de fonctions :
   1. Convergence simple, uniforme, uniforme locale et convergence en norme.
   2. Propriétés de la somme d'une série de fonction : Continuité, dérivabilité et intégration sur un segment.

II. Déterminant

1. Définition de l'application $\det$ sur $\MM_n(\K)$, propriétés.
   1. Si on échange deux colonnes de $A$ alors le déterminant est multiplié par $-1$.($\star$)
   2. On ne change le déterminant d'une matrice si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.($\star$)
   3. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est le produit des ses coefficient diagonaux.($\star$)
2. Définition de déterminant d'un endomorphisme $f\in \LL(E)$ ($E$ est un $\K$-e v de dim finie)
3. Calculs du déterminant: développement selon une ligne ou une colonne + coût de calculs.
4. Calcul du déterminant pour une matrice triangulaire supérieur par bloc (resp. triangulaire inférieur, diagonale par blocs).
5. Déterminant de Vandermonde ($\star$).
6. Formule de Cramer + coût de calculs.

I. Déterminant

1. Définition de l'application $\det$ sur $\MM_n(\K)$, propriétés.
   1. Si on échange deux colonnes de $A$ alors le déterminant est multiplié par $-1$.($\star$)
   2. On ne change le déterminant d'une matrice si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.($\star$)
   3. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est le produit des ses coefficient diagonaux.($\star$)
2. Définition de déterminant d'un endomorphisme $f\in \LL(E)$ ($E$ est un $\K$-e v de dim finie)
3. Calculs du déterminant: développement selon une ligne ou une colonne + coût de calculs.
4. Calcul du déterminant pour une matrice triangulaire supérieur par bloc (resp. triangulaire inférieur, diagonale par blocs).
5. Déterminant de Vandermonde ($\star$).
6. Formule de Cramer + coût de calculs.

II. Séries entières

1. Définition d'une série entière, définition de la rayon de convergence (existence et unicité $\star$)
2. Détermination du rayon de convergence, règle de D'Alembert ($\star$)
3. Fonction définie par une série entière, convergence simple sur $B(0,R)$ et convergence normal sur tout fermé borné inclus dans $B(0,R)$.
4. Opérations: somme, produit de Cauchy. Relations entre les rayons de convergence.
5. Séries entière de la variable réelle : Propriétés de la fonction somme définie sur $]-R,R[$, intégration terme à terme($\star$), dérivation terme à terme ($\star$), unicité de coefficients.
6. Développements en séries entières: Définition d'une fonction développable en SE, série de Taylor ( en 0) d'une fonction de classe $\CC^\infty$, CNS pour que la série de Taylor de $f$ coïncide avec $f$.
7. Soit $f$ DSE en 0, si $f$ est paire (resp. impair) alors $a_{2n+1}=0$ (resp. $a_{2n}=0$) ($\star$).
8. DSE des fonctions usuelles ($\star$)

I. Séries entières

1. Définition d'une série entière, définition de la rayon de convergence (existence et unicité $\star$)
2. Détermination du rayon de convergence, règle de D'Alembert ($\star$)
3. Fonction définie par une série entière, convergence simple sur $B(0,R)$ et convergence normal sur tout fermé borné inclus dans $B(0,R)$.
4. Opérations: somme, produit de Cauchy. Relations entre les rayons de convergence.
5. Séries entière de la variable réelle : Propriétés de la fonction somme définie sur $]-R,R[$, intégration terme à terme($\star$), dérivation terme à terme ($\star$), unicité de coefficients.
6. Développements en séries entières: Définition d'une fonction développable en SE, série de Taylor ( en 0) d'une fonction de classe $\CC^\infty$, CNS pour que la série de Taylor de $f$ coïncide avec $f$.
7. Soit $f$ DSE en 0, si $f$ est paire (resp. impair) alors $a_{2n+1}=0$ (resp. $a_{2n}=0$) ($\star$).
8. DSE des fonctions usuelles ($\star$)

II. Réduction

$E$ est un $\K$ e- v de dimension finie, $A\in \MM_n(\K)$.

1. Éléments propres d'un endomorphisme (resp. matrice)
   1. Définition d'un valeur propre, vecteurs propre associé, sous espace propre.
   2. La sommes des espaces propres associé à des valeurs propres deux à deux distincts est direct $(\star)$.
   3. Lien entre $\mathrm{Sp} (P(u))$ et $\mathrm{Sp}(u)$ ($u\in \LL(E),\,P\in \K[X]$) ($\star$).
   4. Définition de polynôme caractéristiques d'un endomorphisme (resp. matrice), propriétés, théorème de Cayley-Hamilton.
   5. Ordre de multiplicité d'une valeurs propre. Liens entre les valeurs propres (avec leurs ordre de multiplicité) et $\det (u)$, $\tr (u)$.
2. Diagonalisation:
   1. Définition d'un endomorphisme diagonalisable. (resp. matrice diagonalisable).
   2. $u$ est diagonalisable ssi $\chi_u$ est scindé et pour tout $\lambda\in \mathrm{Sp}(u)$, on a $m_\lambda=\dim( E_\lambda)$.

I. Réduction

$E$ est un $\K$ e- v de dimension finie, $A\in \MM_n(\K)$.

1. Éléments propres d'un endomorphisme (resp. matrice)
   1. Définition d'un valeur propre, vecteurs propre associé, sous espace propre.
   2. La sommes des espaces propres associé à des valeurs propres deux à deux distincts est direct $(\star)$.
   3. Lien entre $\mathrm{Sp} (P(u))$ et $\mathrm{Sp}(u)$ ($u\in \LL(E),\,P\in \K[X]$) ($\star$).
   4. Définition de polynôme caractéristiques d'un endomorphisme (resp. matrice), propriétés, théorème de Cayley-Hamilton.
   5. Ordre de multiplicité d'une valeurs propre. Liens entre les valeurs propres (avec leurs ordre de multiplicité) et $\det (u)$, $\tr (u)$.
2. Diagonalisation:
   1. Définition d'un endomorphisme diagonalisable. (resp. matrice diagonalisable).
   2. $u$ est diagonalisable ssi $\chi_u$ est scindé et pour tout $\lambda\in \mathrm{Sp}(u)$, on a $m_\lambda=\dim( E_\lambda)$.
3. Trigonalisation:
   1. Définition d'un endomorphisme trigonalisable (resp. matrice).
   2. $u$ est trigonalisable ssi $\chi_u$ est scindé dans $\K[X]$.

I. Réduction

$E$ est un $\K$ e- v de dimension finie, $A\in \MM_n(\K)$.

1. Éléments propres d'un endomorphisme (resp. matrice)
   1. Définition d'un valeur propre, vecteurs propre associé, sous espace propre.
   2. La sommes des espaces propres associé à des valeurs propres deux à deux distincts est direct .
   3. Lien entre $\mathrm{Sp} (P(u))$ et $\mathrm{Sp}(u)$ ($u\in \LL(E),\,P\in \K[X]$) .
   4. Définition de polynôme caractéristiques d'un endomorphisme (resp. matrice), propriétés, théorème de Cayley-Hamilton.
   5. Ordre de multiplicité d'une valeurs propre. Liens entre les valeurs propres (avec leurs ordre de multiplicité) et $\det (u)$, $\tr (u)$.
2. Diagonalisation:
   1. Définition d'un endomorphisme diagonalisable. (resp. matrice diagonalisable).
   2. $u$ est diagonalisable ssi $\chi_u$ est scindé et pour tout $\lambda\in \mathrm{Sp}(u)$, on a $m_\lambda=\dim( E_\lambda)$.
3. Trigonalisation:
   1. Définition d'un endomorphisme trigonalisable (resp. matrice).
   2. $u$ est trigonalisable ssi $\chi_u$ est scindé dans $\K[X]$.

II. Equations différentielles

Eq. diff. scalaires de seconde ordre $ay''+by'+cy=d$, avec $a,b,c,d\in \CC(I,\K)$ ($I$ un intervalle de $\R$ non vide).

1. Solutions dans le cas ou $a$ ne s'annule pas sur $I$. Théorème de Cauchy, structure de $S_H$ + dimension de $S_H$.
2. Utilisation d'une série entière.
3. Utilisation de changement de variable.

I. Equations différentielles

Eq. diff. scalaires de seconde ordre $ay''+by'+cy=d$, avec $a,b,c,d\in \CC(I,\K)$ ($I$ un intervalle de $\R$ non vide).

1. Solutions dans le cas ou $a$ ne s'annule pas sur $I$. Théorème de Cauchy, structure de $S_H$ + dimension de $S_H$.
2. Utilisation d'une série entière.
3. Utilisation de changement de variable.

II. Espace préhilbertien réel, espace euclidien

$E$ est un $\R$-espace vectoriel.

1. Définition d'une forme bilinéaire symétrique, forme quadratique associée à une f.b.s, produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien.
2. Norme euclidienne associée à un p.s. Inégalité de Cauchy-Schwarz ($\star$). Inégalité de Minkowski ($\star$).
3. Orthogonalité:
   1. Définition de $x\perp y$, th. de Pythagore. Orthogonale d'un ensemble.
   2. Famille orthogonale, Famille orthonormale. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre $(\star$).
   3. Base orthonormale: Définition, propriétés, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
   4. Sommes orthogonales: Définitions. Si $F$ est un sev de $E$ de dim finie alors : $E=F\overset{\perp}{\oplus}F^\perp$ ($\star$).
   5. Définition de projecteur orthogonale. Si $F$ est de dim. finie alors la projection sur $F$ parallèlement à $F^\perp$ est une projection orthogonale ($\star$).
   6. Définition de projecteur orthogonale. Si $F$ est de dim. finie alors la projection sur $F$ parallèlement à $F^\perp$ est une projection orthogonale ($\star$).
   7. Distance de $x$ par rapport à $F$: Définition, caractérisation.