Approximation d'intégrale
• Objectives
• Méthodes classiques
  • Somme de Riemann
  • Méthode des Trapèzes
  • Métdode de Simpson

Approximations des intégrales

Objectives

Dans certain problèmes issus de la physiques ou chimie (mais aussi en Mathématiques!) on est amené à calculer des intégrales (par exemple pour la résolution numérique des équations différentielles ou en statistiques, ...).
Généralement ces intégrales ne sont pas facile à calculer, les difficultés qu'on peut rencontrer sont de deux types:

1. $\rhd$ Pour certaines fonctions, on ne sais pas exprimer leur primitives à l'aide des fonctions usuelles, bien que l'existence de leurs primitives est assurés.
   Un exemple classique : $x\rightarrow \ee^{-x^2}$.
2. $\rhd$ En générale, on ne dispose pas de la fonction $f$, mais uniquement de quelques valeurs de $f$. i.e on connaît $f(x_i)_{1\leq i\leq n}$.

Pour cela on essais de calculer des valeurs approchées de ces intégrales. Le but de TP est d'étudier des méthodes utilisées pour trouver une valeur approchée de $\dsp\int_a^bf(x)\,\ud x$ ou $f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[a;b]$ ($a < b\in \R$).

Notations

Soient $-\infty < a< b< \infty$ deux réels et $f$ une fonction définie sur $[a,b]$ à valeurs dans $\R$.
Pour $n\in \N^*$, on se donne une subdivision régulière $(x_i)_{0\leq i\leq n}$ de l'intervalle $[a,b]$, i.e. $$\forall k\in\inter{0,n},\quad x_k= a + \dfrac{k}{n}(b-a).$$ Ainsi $x_0=a$, $x_n=b$ et $x_{k+1}-x_k=\dfrac{b-a}{n}$.

Méthodes classiques

Somme de Riemann

L'idée principale de cette méthode est d'approcher la fonction $f$ sur $[a,b]$ par une fonction constante proche de la fonction $f$, souvent on prend $f(\zeta)$ pour un certain $\zeta\in [a,b]$.
On parle de

1. Méthode de rectangle à gauche lorsque on prend $\zeta = a$.
   
   
   
   $\dsp\int_a^b f(t)\ud t \simeq (b-a)f(a)$.
2. Méthode de rectangle à droite lorsque on prend $\zeta=b$.
   
   
   
   $\dsp\int_a^b f(t)\ud t \simeq (b-a)f(b)$.
3. Méthode de point du milieu lorsque on prend $\zeta=\dfrac{a+b}{2}$.
   
   
   
   $\dsp\int_a^b f(t)\ud t \simeq (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$.

				from math import *
def RM(a,b,n,f):
	h = (b-a)/n
    S = 0.0
    ak = a+h/2.
	for i in range(n):
		S+= f(ak)
		ak+=h
	return S*h
def f(x):
	return 1/(1.+x)
	
I = RM(0,1,10,f)
print("Rm = {:.9f}, |Em|={:.9f}".format(I,abs(I-log(2.))))
				
				

Tester ici!

Méthode de trapèzes

L'idée principale de cette méthode est d'approcher la fonction $f$ sur $[a,b]$ par une fonction affine qui passe par les points $(a,f(a)),\,(b,f(b))$, i.e. $$f(t)\simeq\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(t-a)+f(a).$$ Ainsi, $\dsp\int_a^bf(t)\ud t\simeq\int_a^b\left(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(t-a)+f(a)\right)\ud t.$ Ce qui donne $$\boxed{\dsp\int_a^bf(t)\ud t\simeq(b-a)\dfrac{f(a)+f(b)}{2}}.$$

Méthode de trapèze.

Pour $n\in \N$, on note $T_n(f)=\dfrac{b-a}{2n}\dsum_{k=0}^{n-1}\left(f(a_k)+f(a_{k+1})\right)$.

Méthode de Simpson

L'idée principale de cette méthode est d'approcher la fonction $f$ sur $[a,b]$ par une fonction polynomiale de degré 2 qui passe par les points $(a,f(a)),\,(m,f(m)),\,(b,f(b))$, avec $m=\dfrac{a+b}{2}$, i.e. $$\begin{array}{lcl} f(t)&\simeq& f(a)\dfrac{(t-m)(t-b)}{(a-m)(a-b)}\\ &&+f(m)\dfrac{(t-a)(t-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b)\dfrac{(t-a)(t-m)}{(b-a)(b-m)}. \end{array} $$ Ainsi, après calculs, $$\boxed{\int_a^bf(t)\ud t\simeq\dfrac{b-a}{6}\left( f(a)+4f(m)+f(b)\right)}.$$

Méthode de Simpson.

Pour $n\in \N$, on note $S_n(f)=\dfrac{b-a}{6n}\dsum_{k=0}^{n-1}\left(f(a_k)+4f(\frac{a_k+a_{k+1}}{2})+f(a_{k+1})\right) $.