Suites et séries de fonctions

Dans ce chapitre $I$ désigne un intervalle de $\R$ non vide et non réduit à un point. $\K$ désigne $\R$ ou $\C$. Enfin on note $\mathcal{F}(I,\K)$ désigne l'ensemble des fonctions définies sur $I$ à valeur dans $\K$.
On note également $\Bb(I,\K)$ l'ensemble des fonctions définies sur $I$ et bornées sur $I$. On rappelle que:

  1. $\mathcal{F}(I,\K)$ est un $\K$ espace vectoriels pour les opérations usuelles.
  2. $\Bb(I,\K)$ est un sous espace vectoriel de $\mathcal{F}(I,\K)$.
  3. L'application $\norme{}_\infty:\Bb(I,\K)\mapsto \R_+$ définie par $\norme{f}_\infty=\dsp\sup_{x\in I}\abs{f(x)}$, définit une norme sur $\Bb(I,\K)$ (appelée norme de la convergence uniforme).

Suites de fonctions

Considérons pour commencer, une équation différentielles $$f(0)=x_0\in \K,\quad f'(t)=\varphi(t,f(t)).$$ avec $f:I\longmapsto \K$ et $\varphi:I\times \K\longmapsto \K$ supposé dans notre cas assez régulier.
L'étude de ce problème, pose pas mal de difficultés. L'existence de solution? Trouver la solution? ou trouver une approximation de la solution.
On peut remarquer que si $f$ est une solution, alors, $$\forall t\in I,\, f(t)=f(t_0)+\int_{t_0}^tf'(s)\ud s= x_0+ \int_{t_0}^t\varphi(s,f(s))\ud s.$$ Il est donc naturelle, de définir une suite de fonctions de la façon suivante: $$f_0(t)=x_0,\quad \forall k\in \N,\quad f_{k+1}(t)=x_0+ \int_{t_0}^t\varphi(s,f_k(s))\ud s.$$ La suite $(f_n)$ est bien définie, et on peut espérer qu'elle converge vers une fonction $g$ et que ce dernier soit une solution de $(E)$. Mais

  1. Quelle définition peut-on donner de la convergence de la suite $f_n$? Par rapport à quelle norme?
  2. S'il y convergence, la fonction limite est-t-elle dérivable?
  3. La limite éventuelle de cette suite est-elle compatible avec l'intégrale, i.e. $$\lim\int \varphi(t,f_n(t))\ud t \overset{?}{=}\int \varphi( t,\lim f_n(t))\ud t.$$

Convergence simple, uniforme

Soit $(f_n)_{n\in \N}$ une suite d'applications définies sur un ensemble $I$, à valeurs dans $\K$ ($f_n\in \mathcal{A}(I,\K))$. Soit $f\in \mathcal{A}(I,\K)$.
On dit que cette suite converge simplement sur $I$ ( CS) vers $f$ ssi $$\forall x\in I,~~\dsp\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x).$$

Soit, pour $n\in \N$, $\fonct{f_n}{[0,1]}{\R}{x}{x^n}$. Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)_{n\in \N}$.

Correction
CS

Pour $x\in [0,1[$ la suite $(x^n)_n$ converge vers $0$ donc $f_n(x)\tendversN\,0$, tandis que pour $x=1$, on a $f_n(1)=1\tendversN\,1$.
Alors la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction $f: x \longmapsto \begin{cases}0 & \text{si } x\in [0,1[ \\ 1 & \text{si } x=1 \end{cases}$

Remarque

La convergence simple sur $I$ d'une suite de fonctions $(f_n)$ vers $f$ peut s'écrire sous la forme $$\forall x\in I, \ \forall \eps>0,\ \exists \underbrace{n_0}_{\substack{\text{dépend de }\eps\\ \text{ et de }x}} \in\N,\ \forall n\in \N,\ n\geq n_0 \Longrightarrow \abs{f_n(x)-f(x)}< \eps$$

Soit $(f_n)_{n\in \N}$ une suite d'applications définies sur un ensemble $I$, à valeurs dans $\K$, et $f\in \mathcal{A}(I,\K)$.
On dit que cette suite converge uniformément vers $f$ sur $I$ ( CU) ssi $$\forall \eps>0,\ \exists n_0 \in\N, \ \forall n\in \N,\ n\geq n_0 \Longrightarrow \ \forall x\in I, \ \abs{f_n(x)-f(x)}< \eps$$

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors $(f_n)$ converge simplement vers $f$.

Remarque

La réciproque de ce résultat est faux. comme le montre l'exemple suivant.

Exemple

Soit, pour $n\in \N$, $\fonct{f_n}{[0,1]}{\R}{x}{x^n}$.
Alors la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction $f: x \longmapsto \begin{cases}0 & \text{si } x\in [0,1[ \\ 1 & \text{si } x=1 \end{cases}$ Or $\dsp\sup_{x\in[0,1]}\abs{f_n(x)-f(x)}=\dsp\sup_{x\in[0,1[}x^n =1$, donc
la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur [0,1].
Cependant, il y a convergence uniforme sur tout segment de la forme $[0,a]$ avec $0 \leq a < 1$, puisque $\dsp\sup_{x\in [0,a]}\abs{f_n(x)-f(x)} =a^n$ tend vers $0$ quand $n\longrightarrow +\infty$.

Soit $(f_n)_{n\in \N}$ une suite d'applications définies sur un ensemble $I$, à valeurs dans $\K$, et $f$ une application de $I$ dans $\K$.
Alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ ssi $\dsp\lim_{n\to\infty}\norme{f_n-f}_\infty=0$.

Ainsi, pour montrer la convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_n)$,

  1. $\mathbf{a) }\,$ On cherche $f$ la limite simple de la suite $(f_n)$, puisque si $(f_n)$ converge uniformément la limite ne peut être que la limite simple de la suite.
  2. $\mathbf{b) }\,$ On essais ensuite, soit de calculer $\norme{f_n-f}_\infty^I$ lorsque ceci est possible, soit de majorer $\abs{f_n(x)-f(x)}$ par une quantité qui ne doit pas dépendre de $x$ et doit tendre vers $0$ lorsque $n$ tend vers $\infty$. (c.f. exercice suivant).


Soit, pour $n\in \N$, $\fonct{f_n}{[0,1]}{\R}{x}{\frac{x+n}{n+4nx^2}}$. Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)_{n\in \N}$.

Correction
CU

Pour $x\in [0,1]$, on a $f_n(x)=\dfrac{1+\frac{x}{n}}{1+4x^2}\tendversN \dfrac{1}{1+4x^2}$. Alors la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction $f: x \longmapsto \dfrac{1}{1+4x^2}$.
D'autre part, $$\forall x\in[0,1],\ f_n(x)-f(x)=\dfrac{x}{n(1+4x^2)}\Longrightarrow\dsp\sup_{x\in[0,1]}\abs{f_n(x)-f(x)} \leq \dfrac1n.$$ Donc la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.

Animation en pdf ici
Remarque

Dans certain cas, il est facile de montrer qu'il n'y a pas de convergence uniforme. Il s'agit de faire un choix approprié de $x$ (en fonction de $n$).
Prenons l'exemple: $f_n(x)=\sin (\frac{x}{n})$ il est claire que $f_n$ CS vers $0$ sur $\R$, si on choisit de calculer $f_n(n)$ on trouve $f_n(n)=\sin(1)>0$ ce qui implique qu'il n' y a pas de convergence uniforme.

Soit $(f_n)_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $\Bb(I,\K)$. On suppose que $(f_n)_n$ converge uniformément sur $I$ vers une application $f:I\longrightarrow \K$. Alors $f\in \Bb(I,\K)$.

Montrer la convergence uniforme sur $I$ peut s'avérer une tâche un peu difficile voir impossible (surtout s'il n'y pas de convergence uniforme), or pour étudier certaines propriétés de la limite en un point $a\in I$ on a besoin de la convergence uniforme au voisinage de $a$, ce qui ce passe ailleurs nous nous intéresse pas!
On va alors introduire une nouvelle notions de la convergence:

Soit $(f_n)_{n\in \N}$ une suite d'applications définies sur $I$, à valeurs dans un $\K$, et $f$ une application de $I$ dans $\K$.
On dit que cette suite converge uniformément localement vers $f$ sur $I$ si, pour tout $a\in I$, il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $V$.

Remarque

Ceci équivalent à: pour tout segment $J$ de $I$ la suite $(f_{n\mid _J})$ converge uniformément vers $f_{\mid _J}$.


Soit $f$ une application de $\R_+$ dans $\R$ telle que : $f(0)=0 \ , \ \dsp \lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = 0 \ $ et $f$ continue sur $\R_+$.
Étudier chacune des suites de fonctions définies sur $\R_+$ par : $$\mathbf{a)\,}\,f_n(x) = f(nx);\,\mathbf{b)\,}\,f_n(x)=\dfrac{f(nx)}{n};\,\mathbf{c)\,}\,f_n(x) = f \left(\dfrac{x}{n}\right);\,\mathbf{d)\,}\,~f_n(x) = \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{x}{n}\right);$$ et enfin $\,\mathbf{e)\,}\,~f_n(x)=f(nx)f\left(\dfrac{x}{n}\right).$

Correction

Traduisons les données de $f$. $$\forall \varepsilon>0,\,\exists\eta >0,\forall x\leq \eta,~~\abs{f(x)}\leq \varepsilon,\quad \exists A>0,~~\forall x\geq A,\,\,\abs{f(x)}\leq \varepsilon.$$ Notons également que dans ce cas $f$ est bornée, de plus il existe $x_1\geq 0$ tel que $\abs{f(x_1)}=\norme{f}_\infty$.
Le cas $f=0$ est trivial, on suppose alors que $f\neq 0$, i.e. il existe $x_0>0$ tel que $f(x_0)\neq 0$.
a) Pour tout $x>0$, on a $nx\tendvers{n}{\infty}\infty$, donc $f(nx)\tendvers{n}{\infty}0 $ (car $f$ est continue), d'autre part comme $f_n(0)=f(0)=0$, on en déduit $\boxed{f_n\overset{C.S}{\longrightarrow} 0}$.
La convergence n'est pas uniforme sur $\R_+$ puisque $\abs{f_n(x_0/n)}=\abs{f(x_0)}>0$.
Pour tout $b>0$, on a $\boxed{f_n\overset{C.U}{\longrightarrow} 0}$ sur $[b,\infty[$ car pour $n\geq \dfrac{A}{b}$ on a $nx\geq nb\geq A$ donc $\abs{f_n(x)}=\abs{f(nx)}\leq \varepsilon$.

b) $\boxed{f_n\overset{C.U}{\longrightarrow} 0}$.
c) Pour tout $x\geq 0$, on a $\frac{x}{n}\tendvers{n}{\infty}0$, donc $f\left(\frac{x}{n}\right)\tendvers{n}{\infty}0 $ (car $f$ est continue), on en déduit $\boxed{f_n\overset{C.S}{\longrightarrow} 0}$.
La convergence n'est pas uniforme sur $\R_+$ puisque $\abs{f_n(nx_0)}=\abs{f(x_0)}>0$.
Pour tout $b>0$, on a $\boxed{f_n\overset{C.U}{\longrightarrow} 0}$ sur $[0,b]$ car pour $n\geq \dfrac{b}{\eta}$ on a $\frac{x}{n}\leq \frac{b}{n}\leq \eta$ donc $\abs{f_n(x)}=\abs{f(x/n)}\leq \varepsilon$.
d) $\boxed{f_n\overset{C.U}{\longrightarrow} 0}$.
e) Soit $N\in \N$ tel que $N>\dfrac{A}{\eta}$, alors pour tout $n\geq N$, on a:
$\,--\,$ Pour tout $x\in [\eta,\infty[$, on a $nx\geq n\eta\geq \dfrac{A}{\eta}\eta$, donc $\abs{f(x/n)f(nx)}\leq \norme{f}_\infty \varepsilon$.
$\,--\,$ Pour $x\in [0,\eta[$, on a $\dfrac{x}{n}\leq x\leq \eta$ donc $\abs{f(x/n)f(nx)}\leq \norme{f}_\infty \varepsilon$.
Dans tous les cas, on a $\abs{f(x/n)f(nx)}\leq \norme{f}_\infty \varepsilon$ soit $\boxed{f_n\overset{C.U}{\longrightarrow} 0}$ .

Limites et continuité

Supposons que les éléments de la suites $f_n$ vérifient une propriété $P$ en $a\in \overline{I}$ (limite, continuité, dérivabilité,...), il est normal de se poser la question si la fonction $f$ (limite de la suite $f_n$) vérifie la même propriété $P$ en $a$.
Regardons l'exemple suivant:

Exemple

Pour $n\in \N^*$, on pose $f_n(x)=\Arctan\left(\frac{x}{n}\right)$. Il est facile de vérifier que $f_n$ converge simplement sur $\R$ vers la fonction $f=0$. Donc $\dsp\lim_{x\to \infty} (\lim_{n\to \infty} f_n(x))=0$, d'autre part, pour tout $n\in \N^*$, on a $\dsp\lim_{x\to \infty} f_n(x)=\dfrac{\pi}{2}$. Donc la fonction limite $f$ ne vérifie pas la même propriétés que les fonctions $f_n$.

Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $I$ dans $\K$, qui converge uniformément vers une application $f:I \to \K$.
Soit $a\in\overline{I}$. On suppose que, pour tout entier $n$ (au moins à partir d'un certain rang), la limite $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in I}}f_n(x)=\ell_n$ existe.
Alors la suite $(\ell_n)_{n\in\N}$ converge vers $\ell \in \K$, et $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in I}}f(x)=\ell$.
En abrégé: $$\dsp\lim_{x \to a}\dsp\lim_{n \to \infty}f_n(x) = \dsp\lim_{n\to \infty} \dsp\lim_{x\to a}f_n(x).$$

Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $I$ dans $\K$, qui converge uniformément vers une application $f:I \to \K$.
Si les $f_n$ sont continues en $a \in I$ (au moins à partir d'un certain rang), alors $f$ est continue en $a$.

Si la suite $(f_n)$ converge uniformément localement vers $f$ sur $I$ et si les $f_n$ sont continues sur $I$, alors $f\in \CC(I,\K)$.

Remarque

Ce théorème peut parfois servir à montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme.
Reprenons le premier exemple du chapitre, avec $f_n(x)=x^n$ pour $x\in [0,1]$. On a vu que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction $f: x \longmapsto \begin{cases}0 & \text{si } x\in [0,1[ \\ 1 & \text{si } x=1 \end{cases}$.
Les $f_n$ sont continues sur $[0,1]$ mais pas $f$: il ne peut donc pas y avoir convergence uniforme sur $[0,1]$.

Intégration d'une suite de fonctions

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ de $\R$, et convergeant uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$. Alors $f$ est continue sur $[a,b]$ et $$\dsp\int_a^bf(t)\ud t = \dsp\lim_{n\to + \infty }\dsp\int_a^b f_n(t)\ud t.$$

Remarque

Les deux hypothèses « convergence uniforme » et « l'intervalle d'intégration est un segment » sont indispensables, comme le montrent les exemples suivants:

Exemples

  1. Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^2x^n(1-x)$.
    On vérifie alors que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction nulle. Cependant, pour tout $n\in \N^*$, $$\dsp\int_0^1f_n(t)\ud t =\dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)}\tendversN\,1\neq 0=\int_0^10\ud t.$$
  2. Soit $(f_n)_{n\geq 2}$ la suite de fonctions définies par $$f_n(t)=\dfrac1n \,\, \forall t\in \left[0,n-\frac1n\right]\,;\,\, f_n(t)=0 \quad\text{pour }t\geq n\quad et\,\, f_n \text{ continue affine par morceaux.}$$ Alors $\norme{f_n}_\infty^{\R_+}=\dfrac1n$ donc la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\R_+$ vers la fonction nulle. Cependant, on vérifie facilement que $\dsp\lim_{n\to +\infty}\dsp\int_{\R_+}f_n =1$.

Dérivation d'une suite de fonctions

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\CC^1$, convergeant simplement sur un intervalle $I$ vers une fonction $f$ de classe $\CC^1$.
On peut alors se poser la(es) question(s):

  1. La suite $(f_n')$ converge simplement sur $I$?
  2. Si oui, y-t-il un lien entre $\dsp\lim f_n$ et $f'$.
Même si (intuitivement) on a envie de répondre oui à ces questions, mais en générale, on n'a pas nécessairement la convergence de $f_n')$ et même en cas de convergence on n'a pas forcement $(\dsp\lim f_n)'=\dsp\lim f'_n$, même s'il y a convergence uniforme!

Exemples

  1. Soit $f_n :x\in \R \mapsto \dfrac{\sin nx}{ \sqrt n}$ pour $n\in \N^*$. Alors $\norme{f_n}_\infty=\dfrac1{\sqrt n}$, donc la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\R$ vers la fonction nulle. Cependant, $f'_n(x)=\sqrt{n}\cos nx$, et la suite $(f'_n)$ n'a même pas de limite simple!
  2. Soit $f_n :x\in [-1,1]\mapsto \sqrt{x^2+\dfrac{1}{n}}$ pour $n\in \N^*$. La suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\R$ vers la fonction $x\mapsto \abs{x}$. On a $f_n\in \CC^1$ mais la limite n'est pas une fonction de classe $\CC^1$.

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\CC^1$ sur un intervalle $I$ de $\R$, à valeurs dans $\K$. On suppose que:

  • La suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$.
  • La suite de fonctions $(f'_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $g$, la convergence étant uniforme sur tout segment inclus dans $I$.

Alors, la fonction $f$ est de classe $\CC^1$ sur $I$, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment inclus dans $I$, et, pour tout $x\in I$, $f'(x)=g(x)$ (soit, en abrégé, $(\dsp\lim f_n)'=\dsp\lim f'_n$).

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\CC^k$ sur un intervalle $I$ de $\R$, à valeurs dans $\K$. On suppose que:

  • Pour tout $0\leq j\leq k-1$, la suite de fonctions $(f_n^{(j)})$ converge simplement sur $I$.
  • La suite de fonctions $(f^{(k)}_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $g$, la convergence étant uniforme sur tout segment inclus dans $I$.

Alors, la fonction $f=\dsp\limiteX{n}{\infty}f_n$ est de classe $\CC^k$ sur $I$, et pour chaque $0\leq j\leq k$ la suite $(f_n^{(j)})$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$, et, pour tout $x\in I$, $f^{(k)}(x)=g(x)$.

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\CC^\infty$ sur un intervalle $I$ de $\R$, à valeurs dans $\K$. On suppose que:

  • Pour tout $j\in \N$, la suite de fonctions $(f_n^{(j)})$ converge simplement sur $I$.
  • Il existe $p\in \N^*$ tel que, pour tout $k\geq p$ la suite de fonctions $(f^{(k)}_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $g$, la convergence étant uniforme sur tout segment inclus dans $I$.

Alors, la fonction $f=\dsp\limiteX{n}{\infty}f_n$ est de classe $\CC^\infty$ sur $I$, et pour chaque $j\in \N$ la suite $(f_n^{(j)})$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$ vers $f^{(j)}$.

Séries de fonctions

Weierstrass en 1872 donne un exemple d'une fonction continue nulle par dérivable en utilisant les séries des fonctions.
Utilisation des séries de fonctions dans l'analyse de Fourier.

Exemple d'une série de Fourier

Exemple d'une série de Fourier

Généralités

On dit que la série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u_n$ converge simplement sur $I$ s'il existe une application $S:I\rightarrow \K$ telle que la suite de fonctions $(U_n)$ converge simplement sur $I$ vers $S$.

On dit que la série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u_n$ converge uniformément sur $I$ s'il existe une application $S:I\rightarrow \K$ telle que la suite de fonctions $(U_n)$ converge uniformément sur $I$ vers $S$.

La série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u_n$ converge uniformément sur $I$ \ssi elle converge simplement sur $I$ et si la suite des restes $(R_n)$ converge uniformément sur $I$ vers la fonction nulle.

Remarque

Avant de commencer à étudier la convergence uniforme, on commence par trouver $x\in \R$ tel que $\dsum u_n(x)$ (donc il s'agit ici d'une série numérique) converge, i.e. trouver le domaine de définition de $\dsum u_n$.

Rien

(A Eviter)
Surtout, il faut éviter les phrases de type:
Pour tout $n\in \N$, $u_n$ est définie sur $\R$ donc $\dsum u_n$ est définie sur $\R$.



Rien

(Mines 2018)
Le jury rappelle qu'il faut préciser sur quel ensemble a lieu telle ou telle convergence. Dans la manipulation des séries de fonctions (recherche d'équivalent d'une somme, estimation du reste, ...) de nombreux candidats commettent des confusions entre la variable utilisée et l'indice de sommation.
(CCP 2016)
On note beaucoup de confusions entre suites et séries de fonctions lors, par exemple, de l'étude d'une convergence uniforme.

(E3A 2019 MP)

Soit $\alpha\in \R^*$ fixé. Pour tout $n\in \N$, $x\in \R$, on définit $u_n(x)=\dfrac{\alpha^n\cos(nx)}{n!}$.

  1. Déterminer l'ensemble de définition $\DD$ de la fonction $C=\dsum u_n$, puis étudier la convergence uniforme de $\dsum u_n$ sur $\DD$.
  2. Pour tout $x\in \DD$, donner une expression de $C(x)$ à l'aide des fonctions usuelles.

Correction
  1. Soit $x\in \R$, on a $\abs{u_n(x)}=\dfrac{\abs{\alpha}^n\abs{\cos(nx)}}{n!}\leq \dfrac{\abs{\alpha}^n}{n!}$, or la série $\dsum \dfrac{\abs{\alpha}^n}{n!}$ est une série convergente, on en déduit que $\dsum u_n(x)$ est absolument convergente donc convergent.
    Donc le domaine de définition $\DD$ de la fonction $C$ est $\R$.
    D'autre part, pour tout $n\in \N$, $$\abs{R_n(x)}=\abs{\dsum_{k=n+1}^\infty\dfrac{\alpha^k\cos(kx)}{k!}}\leq \dsum_{k\geq n+1}\dfrac{\abs{\alpha}^k\abs{\cos(kx)}}{k!}\leq \dsum_{k\geq n+1}\dfrac{\abs{\alpha}^k}{k!}$$ Ce qui implique $\norme{R_n}_\infty\leq \dsum_{k\geq n+1}\dfrac{\abs{\alpha}^k}{k!} \tendversN\,0$, donc $R_n$ converge uniformément vers $0$ sur $\R$.
    Donc $\dsum u_n$ converge uniformément vers $C$ sur $\R$.
  2. Soit $x\in \R$, on a $$C(x)=\dsum_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^n\cos(nx)}{n!}=\re\left(\dsum_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^n\ee^{\ii x}}{n!}\right)=\re \left(\dsum_{n=0}^\infty\dfrac{(\alpha\ee^{\ii x})^n}{n!}\right)=\re\left(\ee^{\alpha\ee^{\ii x}}\right).$$ or, $\dsp \ee^{\alpha\ee^{\ii x}}= \ee^{\alpha(\cos(x)+\ii\sin(x))}=\ee^{\alpha\cos(x)}\ee^{\ii \alpha \sin(x)}$, d'où $$\boxed{\forall x\in \R,\,C(x)=\ee^{\alpha\cos(x)}\cos\left(\alpha\sin(x)\right)}.$$


Étude de la série de fonctions $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{x^n}{n^2}$.

Correction
  1. [$\bullet$] Convergence simple: Pour $\abs{x}>1$, $\dfrac{x^n}{n^2}$ ne tend pas vers $0$ quand $n\to+\infty$, donc la série $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{x^n}{n^2}$ diverge grossièrement.
    Si $\abs{x}\leq 1$, $\abs{\dfrac{x^n}{n^2}}\leq \dfrac1{n^2}$ donc la série $\dsum_{n\geq 1} \dfrac{x^n}{n^2}$ est absolument convergente (donc convergente) par comparaison à la série convergente à termes positifs $\dsum_{n\geq 1}\dfrac1{n^2}$.
    En conclusion, la série converge simplement sur $[-1,1]$ et on peut donc poser: $$\forall x\in [-1,1]\ ,\ f(x)=\dsum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\,.$$
  2. [$\bullet$] Convergence uniforme: Pour tout $x\in [-1,1]$, on a $$\abs{R_n(x)}=\abs{\dsum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k^2}}\leq \dsum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{\abs{x}^k}{k^2}\leq \dsum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}$$ donc $\norme{R_n}_\infty\leq \dsp\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}\norme{R_n}_\infty=0$ puisque $\dsum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}$ est le reste d'une série numérique convergente.

En conclusion, la série de fonctions $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{x^n}{n^2}$ converge uniformément vers $f$ sur $[-1,1]$.

Rien

(CCP 2018)
La convergence uniforme est très mal comprise et dans le cas des séries de fonctions, même si certains candidats pensent à utiliser la suite des restes, ils ne la majorent pas uniformément.


Dans certains cas (en utilisant comparaison série intégrale ou les séries alternées) on peut étudier la suite des restes, mais dans la major partie des cas, il n'est pas facile de montrer la convergence uniforme du reste vers $0$.
On introduit alors un nouveau type de convergence, plus fort que la convergence normale, la convergence normale.

On dit que la série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u_n$ converge normalement sur $I$ si

  • les fonctions $u_n\in \Bb(I,\K)$ (au moins à partir d'un certain rang)
  • et la série numérique $\dsum_{n\geq 0}\norme{u_n}_\infty$ est convergente
Remarque

L'intérêt de la CN est qu'elle plus simple à montrer (en générale), en effet il suffit de calculer la norme infinie de $u_n$ ou de majorer $\abs{u_n(x)}$ par une constante qui ne dépend pas de $x$, puis étudier la série numérique $\dsum \norme{u_n}_\infty$.
Et lorsque $\dsum u_n$ converge normalement on utilise le théorème ci-après.

Soit $(u_n)_{n\in \N}$ est une suite d'applications de $I$ dans $\K$ telle que la série de fonctions $\dsum_{n\in \N}u_n$ est normalement convergente sur $I$, alors:

  1. La série de fonctions $\dsum_{n\in \N}u_n$ est uniformément convergente sur $I$.
  2. Pour tout $x\in I$, la série $\dsum_{n\in \N}u_n(x)$ est absolument convergente dans $\K$.

Exemple

Étude$\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\cos(n^3x)}{n^2}$.
Dans ce cas, il est facile de majorer $\norme{u_n}_\infty$ par $\dfrac{1}{n^2}$ et comme $\dsum \frac{1}{n^2}$ CV on en déduit que $\dsum u_n $ CN sur $\R$ ce qui évidement implique les autres types de convergence.

(E3A 2020)

Pour $x\in [1,\infty[$, on pose $f_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{1+nx}}$. Étudier la convergence de $\dsum f_n$.

Correction

Soit $x\geq 1$, la suite $(\dfrac{1}{\sqrt{1+nx}})$ est décroissante et converge vers $0$, donc d'après le CSSA (c.f. section séries alternées, chapitre Séries numériques), $\dsum f_n(x)$ converge.
On en déduit que $\dsum f_n $ converge simplement sur $[1,\infty[$. D'autre part, pour tout $n\geq 0$, $\norme{f_n}_\infty^{[1,\infty[}=\dfrac{1}{\sqrt{1+n}}$, comme la série $\dsum \dfrac{1}{\sqrt{1+n}}$ diverge, on en déduit qu'il n'y a pas de convergence normale sur $[1,\infty[$.
En utilisant le théorème de majoration du reste pour une série alternée (chapitre séries numériques), Soit $x\in [1,\infty[$ $$\abs{R_n(x)}=\abs{\dsum_{k\geq n+1}\dfrac{(-1)^k}{\sqrt{1+kx}}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1+(n+1)x}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{2+n}}\Longrightarrow \norme{R_n}_\infty\leq \dfrac{1}{\sqrt{2+n}}\tendversN\,0$$ On en déduit alors que $\dsum f_n$ converge uniformément sur $[1,\infty[$.

Propriétés de la somme d'une série de fonctions

On s'intéresse dans cette section aux propriétés de $\dsum f_n$, par rapport aux propriétés des fonctions $f_n$. Il s'agit essentiellement de la continuité, dérivabilité, intégrabilité de la somme.
Bien évidement, on aura les même problèmes et difficultés que dans le cas des suites de fonctions. Commençons par un exemple.

Exemple

Soit $F$ une fonction continue définie sur $\R_+$ dans $\R$, on suppose que $F$ admet une limite finie $\ell$ non nul en $\infty$. Pour $n\in \N$, on définie $f_n$ par $$ \fonct{f_n}{\R_+}{\R}{x}{\left\{\begin{array}{ll} (x-n+1)F(x)&\text{ si } n>1 \text{ et } x\in [n-1,n[\\ (n+1-x)F(x)&\text{ si } x\in [n,n+1[\\ 0&\text{ si }x\not\in [n-1,n+1] \end{array}\right. }$$ On note $S_n=\dsum_{k=0}^nf_n$.

  1. Montrer que $f_n\in \CC(\R_+)$.
  2. Montrer que $\dsum f_n$ converge simplement vers $F$ sur $\R_+$.
  3. Calculer $\dsp \lim_{x\to \infty}f_n(x)$ en déduire $\dsp \dsum_{n\geq 0}\lim_{x\to \infty}f_n(x)$. A-t-on $\dsp \lim_{x\to 0}\dsum_{k=0}^\infty f_n(x)=\dsum_{n\geq \infty}\lim_{x\to \infty}f_n(x)$
  4. La convergence est-elle uniforme sur $\R_+$?


Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur $I$ à valeur dans $\K$ Soit $a\in \overline{I}$. On suppose que, pour tout entier $n$, la limite $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in I}}u_n(x)=\ell_n$ existe dans $\K$, et que la série $\dsum_{n\in \N}u_n$ est uniformément convergente sur $I$ . Notons $S=\dsum_{n=0}^{+\infty}u_n$.
Alors:

  • La série $\dsum_{n\in \N}\ell_n$ converge
  • $\dsp\lim_{\substack{x \to a \\x\in I}}S(x)=\dsum_{n=0}^{+\infty}\ell_n$ (i.e. en abrégé: $\dsp\lim_{a} \left(\dsum_{n=0}^{+\infty}u_n\right)=\dsum_{n=0}^{+\infty}\dsp\lim_{a}u_n$).

Remarque

Cauchy a affirmé dans ce son cous 1821 que la continuité des $u_n$ suffit pour avoir la continuité de $u$.


On considère la suite de fonction $\fonct{f_n}{[0,\pi/2]}{\R}{x}{x\sin(x)\cos(x)^n}$.
Étudier la série $g=\dsum f_n$, $g\in \CC([0,\frac{\pi}{2})$?

Correction

Pour $x=0$, on a $f_n(0)=0$ donc $\dsum f_n(0)$ converge et vaut $0$. Soit $x\in ]0,\frac{\pi}{2}]$, et $n\in \N^*$, on a $$\dsum_{k=0}^nf_k(x)=\dsum_{k=0}^nx\sin(x)\cos^k(x)=x\sin(x)\dfrac{1-\cos(x)^{n+1}}{1-\cos(x)}\tendversN\dfrac{x\sin(x)}{1-\cos(x)}.$$ On en déduit que $\dsum f_n\overset{C.U}{\tendversN}f$ avec $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\text{ si }x=0\\ \dfrac{x\sin(x)}{1-\cos(x)} \end{array} \right.$ .
La fonction $g$ n'est pas continue en $0$, car, pour $x\in ]0,\frac{\pi}{2}]$, on a $$g(x)=\dfrac{x^2+\mathrm{o}(x^3)}{1-(1-\frac{x^2}{2}+\mathrm{o}(x^2))}=2+\mathrm{o}(x)\tendvers{x}{0^+}2\neq g(0).$$ Donc $\dsum f_n$ ne converge pas uniformément sur $[0,\frac{\pi}{2}]$.

Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur $I$, à valeurs dans un $\K$, telle que la série $\dsum_{n\in\N}u_n$ converge uniformément sur $I$.
Soit $a\in A$. Si les $u_n$ sont continues en $a$, alors la somme $S$ de la série est continue en $a$.

Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur $I$, à valeurs dans un $\K$.
Si les $u_n$ sont continues sur $I$ et si la série converge uniformément localement sur $I$, alors sa somme $S$ est continue sur $I$.

Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur un segment $[a,b]\subset \R$ , à valeurs dans $\K$.
On suppose que les $u_n$ sont continues sur $[a,b]$ , et que la série $\dsum_{n\in \N}u_n$ converge uniformément sur $[a,b]$. Notons $S=\dsum_{n=0}^{+\infty}u_n$.
Alors $S$ est continue sur $[a,b]$, la série $\dsum_{n\in\N}\dsp\int_a^b u_n(t)\ud t$ converge, et $$\dsp\int_a^bS(t)\ud t = \dsum_{n=0 } ^{+\infty}\dsp\int_a^b u_n(t)\ud t.$$

Exemple

On note, pour $n\geq 1$, $f_n(x)=\dfrac{\cos(n^3x)}{n^2}$, on $\dsum f_n$ converge normalement sur $\R$ puisque $\norme{f_n}_\infty=\dfrac{1}{n^2}$. Les fonctions $f_n$ sont de classe $\CC^\infty$ sur $\R$. Que peut-on dire sur la régularité de leurs somme?

Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur un intervalle $I\subset \R$, à valeurs dans $\K$. On suppose que:

  1. les $u_n$ sont de classe $\CC^1$ sur $I$;
  2. la série de fonctions $\dsum_{n\in \N}u_n$ converge simplement sur $I$; on notera $S$ sa somme;
  3. la série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u'_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$

Alors:

  • La fonction $S$ est de classe $\CC^1$ sur $I$;
  • pour tout $x\in I$, on a : $S'(x)=\dsum_{n=0}^{+\infty}u'_n(x)$.


  1. Déterminer le domaine de définition $\DD$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}}{\sqrt{n^3}}$.
  2. Étudier les propriétés de $f$ sur $\DD$ ainsi que la dérivabilité de $f$ en $0$.
  3. Déterminer un équivalent de $f$ en $\infty$.

Correction

  1. Posons, pour $n\geq 1$, $\fonct{u_n}{\R}{\R}{x}{\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}}{\sqrt{n^3}}}$.
    Pour $x< 0$, on a $\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}}{\sqrt{n^3}}\tendversN\infty$, donc $x\not\in \DD$.
    Pour $x\geq 0$, on a $0\leq u_n(x)\leq \dfrac{1}{\sqrt{n^3}}$, et comme $\dsum \dfrac{1}{n^{3/2}}$ converge alors $\dsum u_n(x)$ converge donc $x\in \DD$.
    On en déduit que $\DD=\R_+$. De plus, on a $\norme{u_n}_\infty^{\R_+}=\dfrac{1}{\sqrt{n^3}}$ donc $\dsum u_n$ converge normalement sur $\DD$.
    1. $f$ est continue sur $\DD$ car $\dsum u_n$ converge normalement (donc uniformément) sur $\DD$ et pour tout $n\geq 1$ $u_n$ est continue sur $\DD$.
    2. Notons que la fonction $x>0\longmapsto \dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ est strictement décroissante sur $\R_+^*$ et continue donc elle admet une limite en $0$ (éventuellement $-\infty$).
      Pour tout $n\geq 1$, on a $u_n\in \CC^1(\DD)$ et $u_n(x)'=\dfrac{-\ee^{-x\sqrt{n}}}{n}$. Soit $a>0$, on a $$\forall x\in [a,\infty[,\quad \abs{u_n'(x)}\leq \dfrac{\ee^{-a\sqrt{n}}}{n} \Longrightarrow\norme{u_n'}_\infty^{[a,\infty[}\leq \dfrac{\ee^{-a\sqrt{n}}}{n}\Longrightarrow \dsum_{n\geq 1}\norme{u_n'}_\infty^{[a,\infty[}< \infty.$$ Ceci prouve que $\dsum u_n'$ converge normalement (donc uniformément) sur $[a,\infty[$, d'où $\dsum u_n'$ converge uniformément localement sur $\R_+^*$. On en déduit que $f\in \CC^1(\R_+^*)$.
    3. Pour $N\in \N$ et $x>0$, on pose $g_N(x)=\dsum_{n=1}^N\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}-1}{x\sqrt{n^3}}=\dsum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}-1}{x\sqrt{n}}\right)$.
      La fonction $\varphi(t)=\dfrac{\ee^{-t}-1}{t}$ est continue sur $\R^*$ et prolongeable par continué en $0$ en posant $\varphi(0)=-1$. On en déduit que $g_N$ est prolongeable par continuité en $0$ avec $$g_N(0)=\limiteX{x}{0^+}\dsum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}-1}{x\sqrt{n}}\right)=\dsum_{n=1}^N\limiteX{x}{0^+}\varphi(x\sqrt{n})\dfrac{1}{n}=-\dsum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$$ Soit $x>0$, on a $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\ee^{-x\sqrt{n}}-1}{x\sqrt{n}}\dfrac{1}{n}\leq g_N(x)\Longrightarrow\limiteX{x}{0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\leq \limiteX{x}{0^+}g_N(x)=-\dsum_{k=1}^N\dfrac{1}{k}$$ Ceci étant vrai pour tout $N\in \N^*$, on en déduit alors que $\dsp\limiteX{x}{0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-\infty$ puisque $\dsum\dfrac{1}{k}$ diverge. On conclut que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
  2. $\dsum u_n$ CU sur $[1,\infty[$, de plus, pour tout $n\geq 1$, on a $u_n(x)\tendvers{x}{\infty}0$, on en déduit: $$\limiteX{x}{\infty}f(x)=\dsum_{n\geq 1}\limiteX{x}{\infty}u_n(x)=0.$$ Pour trouver un équivalent de $f$ en $\infty$, on écrit, $$\begin{array}{lcl} f(x)&=&\ee^{-x}+\dfrac{\ee^{-x\sqrt{2}}}{2}+\dfrac{\ee^{-x\sqrt{3}}}{3}+\cdots =\ee^{-x}\left(1+\dfrac{\ee^{-x(\sqrt{2}-1)}}{2}+\dfrac{\ee^{-x(\sqrt{3}-1)}}{3}+\cdots\right)\\ &&\\ &=&\ee^{-x}\left(1+\dsum_{k\geq 2}\dfrac{\ee^{-x(\sqrt{k}-1)}}{k}\right)=\ee^{-x}\left(1+h(x)\right) \end{array} $$ ensuite on montre que $h(x)\tendvers{x}{\infty}0$, ce qui donne $f(x)\underset{x\to \infty}{\thicksim} \ee^{-x}$.

Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur un intervalle $I\subset\R$, à valeurs dans $\K$. On suppose que:

  • les $u_n$ sont de classe $\CC^k$ sur $I$;
  • chaque série de fonctions $\dsum_{n\in \N}u_n^{(j)}$, $0\leq j\leq k-1$, converge simplement sur $I$;
  • la série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u_n^{(k)}$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$.

Alors:

  1. La fonction $S=\dsum u_n$ est de classe $\CC^k$ sur $I$;
  2. chaque série $\dsum u_n^{(j)},\,0\leq j\leq k$, converge uniformément sur tout segment de $I$ avec pour fonction somme $S^{(j)}$ $$\forall 0\leq j\leq k,\quad \forall x\in I,\quad S^{(j)}(x)=\dsum_{n\geq 0}u_n^{(j)}(x).$$

Soit $\dsum_{n\in \N}u_n$ une série de fonctions définies sur un intervalle $I\subset\R$, à valeurs dans $\K$. On suppose que:

  • les $u_n$ sont de classe $\CC^\infty$ sur $I$;
  • chaque série de fonctions $\dsum_{n\in \N}u_n^{(j)}$, $j\in \N$, converge simplement sur $I$;
  • il existe $p\in \N^*$ tel que, pour tout $k\geq p$, la série de fonctions $\dsum_{n\in\N}u_n^{(k)}$ converge uniformément sur tout segment inclus dans $I$.

Alors:

  1. La fonction $S=\dsum u_n$ est de classe $\CC^\infty$ sur $I$;
  2. chaque série $\dsum u_n^{(j)},j\in \N$, converge uniformément sur tout segment de $I$ avec pour fonction somme $S^{(j)}$ $$\forall j\in \N,\quad \forall x\in I,\quad S^{(j)}(x)=\dsum_{n\geq 0}u_n^{(j)}(x).$$


  1. Déterminer le domaine de définition $\DD$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dsum_{n\geq 2}\dfrac{n^{-x}}{\ln(n)}$.
  2. Montrer que $f$ est de classe $\CC^\infty$ sur $\DD$.
  3. Déterminer une équivalent de $f$ en $\infty$.

Correction
  1. Poux $x\leq 1$ et $n\geq 2$, on a $\dfrac{n^{-x}}{\ln(n)}\geq \dfrac{1}{n\ln(n)}$ et $\dsum \dfrac{1}{n\ln(n)}$ diverge donc $x\not\in \DD$.
    Pour $x>1$ on a $\dfrac{n^{-x}}{\ln(n)}=\underset{n\to \infty}{\mathrm{o}} \left(\dfrac{1}{n^{\frac{1+x}{2}}}\right)$ et $\dsum \dfrac{1}{n^{(1+x)/2}}$ converge donc $x\in \DD$.
    On en déduit $\boxed{\DD=]1,\infty[}$.
  2. Posons, pour $n\geq 2$, $\fonct{f_n}{]1,\infty[}{\R}{x}{\dfrac{1}{n^x\ln(n)}}$, on a $f_n\in \CC^\infty(]1,\infty[)$. De plus, $$\forall p\in \N^*,\, \forall x\in ]1,\infty[,\, f_n^{(p)}(x)=\dfrac{\ln(n)^{p-1}}{n^x}\Longrightarrow \forall a>1,\, \norme{f_n^{(p)}}_\infty^{[a,\infty[}\leq \dfrac{\ln(n)^{p-1}}{n^a},$$ on en déduit alors que $\dsum_{n\geq 2} \norme{f_n^{(p)}}_\infty^{[a,\infty[}<\infty$. Donc la série $\dsum f_n^{(p)}$ converge normalement sur tout intervalle de type $[a,\infty[$ pour tout $a>1$. On en déduit que $\dsum f_n^{(p)}$ converge uniformément localement sur $]1,\infty[$.
    Le résultat étant vérifié pour tout $p\in \N$, on en déduit alors que $f\in \CC^\infty(]1,\infty[)$.
  3. Pour tout $n\geq 2$, on a $f_n(x)=\dfrac{1}{n^x\ln(n)}\tendvers{x}{\infty}0$. Comme $\dsum f_n$ converge normalement sur $[a,\infty[$ ($a>1$), on en déduit alors que $\dsp\limiteX{x}{\infty}f(x)=\dsum_{n\geq 2}\limiteX{x}{\infty}f_n(x)=0$.
    D'autre part, on a $$\begin{array}{lcl} f(x)&=&\dfrac{1}{2^x\ln(2)}+\dfrac{1}{3^x\ln(3)}+\cdots +\dfrac{1}{n^x\ln(n)}+\cdots\\ & =&\dfrac{1}{2^x\ln(2)}\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^x\frac{\ln(2)}{\ln(3)}+\cdots +\left(\frac{2}{n}\right)^x\frac{\ln(2)}{\ln(n)}+\cdots\right) \end{array} $$ Ainsi, $\dsp\ln(2)2^xf(x)=1+\dsum_{n\geq 3}\left(\dfrac{2}{n}\right)^x\dfrac{\ln(2)}{\ln(n)}\tendvers{x}{\infty}1$. On en déduit, $\boxed{f(x)\underset{x\to\infty}{\thicksim}\dfrac{1}{2^x\ln(2)}}$.