Séries entière

On pose $u=z^2$ alors la série $\dsum a_n u^n$ converge pour $u$ tel que $\abs{u}< R$. Puisque $u=z^2$, la série $\dsum a_n z^{2n}$ converge pour $\abs{z}< \sqrt{R}$ et diverge pour $z$ tel que $\abs{z}>\sqrt{R}$.
On en déduit que le rayon de convergence demandé est $\sqrt{R}$ (avec la convention $\sqrt{\infty}=\infty$).

On ne peut pas appliquer la règle de d'Alembert ici car $a_{2n+1}=0$. En revanche, pour $z\in \C$ non nul, on pose $u_n=\dfrac{\abs{z}^{2n}}{(2n)!}$, alors $u_n\neq 0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\tendversN\,0$, donc d'après la règle d'Alembert pour les séries numériques, $\dsum \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$ est absolument convergente, donc $R=\infty$.

On pose, pour $n\in \N$, $u_n(x)=\ee^{-n}\sin(n^2x)$ alors $u_n\in \CC^\infty(\R)$, de plus, $$\forall p\in \N,\quad \forall x\in \R,\,u_n^{(p)}(x)=n^{2p}\ee^{-n}\sin\left(n^2x+\frac{p\pi}{2}\right)\Longrightarrow \norme{u_n^{(p)}}_\infty=n^{2p}\ee^{-n}.$$ Ceci montre que $\dsum u_n^{(p)}$ est normalement convergente sur $\R$ donc uniformément convergente. On en déduit que $f\in \CC^\infty(\R)$.
Soit $p\in \N$, on a $$f^{(p)}(0)=\dsum_{n\geq 0}n^{2p}\ee^{-n}\sin\left(\frac{p\pi}{2}\right)\Longrightarrow \forall p\in \N,\quad \abs{f^{(2p+1)}(0)}=\dsum_{n\geq 0}n^{2(2p+1)}\ee^{-n}\geq (2p+1)^{2(2p+1)}\ee^{-2p-1}.$$

Soit $x\in \R^*$, puisque $\alpha\not\in \N$, alors $a_n\neq 0$. On a $$\forall n\geq 1,~~\abs{\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}}=\abs{\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha -n)}{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}}\dfrac{\abs{x}}{n+1}=\abs{\dfrac{\alpha-n}{n+1}x}\tendvers{n}{\infty}\abs{x}.$$ On en déduit que le rayon de convergence $R=1$.
Notons alors $f$ la somme de cette série entière, on a $f\in \CC^\infty(]-1,1[)$, de plus, $$ \forall x\in ]-1,1[,~~f'(x)=\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\alpha\cdots(\alpha-n+1)}{(n-1)!}x^{n-1}=\alpha+\dsum_{n\geq 1}(\alpha-n)a_nx^n.$$ En séparant ce dernier somme en deux, on trouve: $$\forall x\in ]-1,1[,~~f'(x)=\alpha+\alpha\dsum_{n\geq 1}a_nx^n-\dsum_{n\geq 1}na_nx^n.$$ Soit encore, $$\forall x\in ]-1,1[,~~f'(x)=\alpha f(x)-xf'(x).$$ On en déduit que $f$ vérifie l'équation différentielle suivante: $$\forall x\in ]-1,1[,~~(1+x)f'(x)=\alpha f(x),~~\text{ et } f(0)=1.$$ La solution de cette équation nous donne $f(x)=(1+x)^\alpha$.

En utilisant la règle d'Alembert, on a $R=1$, d'autre part, on a: $$\forall n\in \N,~~\dfrac{1}{(n+1)(2n+1)}=\dfrac{2}{2n+1}-\dfrac{1}{n+1},$$ Les séries entières $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}x^n$ et $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{-1}{n+1}x^n$ ont le même rayon de convergence.
On note, pour $x\in ]-1,1[$, $f(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{(2n+1)(n+1)}$, $A(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}x^n$ et $B(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{-1}{n+1}x^n$. On a alors: $f(x)=A(x)+B(x)$.
Calcul de $A$:
Pour $x\in ]0,1[$, on pose $t=\sqrt{x}$ ce qui donne: $$A(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}x^n=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}t^{2n}=\dfrac{1}{t}\ln\left(\dfrac{1+t}{1-t}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right).$$ Pour $x\in ]-1,0[$, on pose $u=\sqrt{-x}$, d'où $$A(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2(-1)^nu^{2n}}{2n+1}=\dfrac{2}{u} \Arctan(u)=\dfrac{2}{\sqrt{-x}}\Arctan(\sqrt{-x}).$$ Enfin, pour $x=0$, on a $A(0)=2$.
Calcul de $B$:
Pour $x\in ]0,1[\setminus\{0\}$, on a: $$B(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{-1}{n+1}x^n=\dfrac{1}{x}\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{x}\ln(1-x).$$ et $B(0)=-1$.
On en déduit, $$\forall x\in ]-1,1[,~~f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \dfrac{2}{\sqrt{-x}}\Arctan(\sqrt{-x})+\dfrac{1}{x}\ln(1-x)~~&\text{ Si }~~x\in ]-1,0[\\ &\\ 1 &\text{ Si }~~x=0\\ &\\ \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)+\dfrac{1}{x}\ln(1-x)~~&\text{ Si }~~x\in ]-1,0[\\ \end{array} \right.$$