$$ \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Ns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\Ff}{\mathcal{F}} \newcommand{\Gg}{\mathcal{G}} \newcommand{\Sc}{\mathcal{S}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ii}{\mathcal{I}} \newcommand{\Ll}{\mathcal{L}} \newcommand{\Ee}{\mathcal{E}} \newcommand{\Oo}{\mathcal{O}} \newcommand{\AAA}{\mathcal{A}} \newcommand{\Nn}{\mathcal{N}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\Pp}{\mathcal{P}} \newcommand{\Rr}{\mathcal{R}} \newcommand{\Hh}{\mathcal{H}} \newcommand{\Dd}{\mathcal{D}} \newcommand{\Mm}{\mathcal{M}} \newcommand{\Tt}{\mathcal{T}} \newcommand{\Bb}{\mathcal{B}} % \newcommand{\ABA}{\mathscr{A}} \newcommand{\FF}{\mathscr{F}} \newcommand{\BB}{\mathscr{B}} \newcommand{\CC}{\mathscr{C}} \newcommand{\MM}{\mathscr{M}} \newcommand{\PP}{\mathscr{P}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\VV}{\mathscr{V}} \newcommand{\DD}{\mathscr{D}} \newcommand{\SB}{\mathscr{S}} \newcommand{\EE}{\mathscr{E}} \newcommand{\HH}{\mathscr{H}} \newcommand{\dx}{\mbox{d} x} \newcommand{\dt}{\mbox{d} t} %\newcommand{\dt}{\mathop{\mathrm{d}}\nolimits t} \newcommand{\du}{\mathop{\mathrm{d}}\nolimits u} \newcommand{\dg}{\mathop{\mathrm{deg}}\nolimits} \newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{\ii}{\mathop{\mathrm{\textbf{i}}}\nolimits} \newcommand{\ee}{\mathop{\mathrm{e}}\nolimits} \newcommand{\jj}{\mathop{\mathrm{\textbf{j}}}\nolimits} \renewcommand {\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand {\le}{\leqslant} \renewcommand {\ge}{\geqslant} \renewcommand {\leq}{\leqslant} \renewcommand {\geq}{\geqslant} \newcommand{\id}{\text{id}} %\newcommand{\tr}{\text{tr}} \newcommand{\Sp}{\mathop{\mathrm{Sp}}\nolimits} \newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits} \newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits} \renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits} \newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{Arcsin}}\nolimits} \newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{Arccos}}\nolimits} \newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{Arctan}}\nolimits} \newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{Argsh}}\nolimits} \newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{Argch}}\nolimits} \newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{Argth}}\nolimits} \newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits} \newcommand{\Vect}{\mathop{\mathrm{Vect}}\nolimits} \newcommand{\rg}{\mathop{\mathrm{rg}}\nolimits} \newcommand{\absolue}[1]{\left| #1 \right|} %\newcommand{\fonc}[5]{#1 : \begin{cases}#2 \rightarrow #3 \\ #4 \mapsto #5 %\end{cases}} \newcommand{\transp}[1]{\sideset{^{t}}{}{\mathop{#1}}} \newcommand{\tendvers}[2]{\xrightarrow[#1 \rightarrow #2]{}} \newcommand{\tendversN}{\xrightarrow[n \rightarrow \infty]{}} \newcommand{\limiteX}[2]{\underset{#1\rightarrow #2}{\lim \,}} \newcommand{\limite}[1]{\underset{#1}{\lim \,}} \newcommand{\ovw}{\overrightarrow} \def\dsp{\displaystyle} \def\dps{\displaystyle} \def\eps{\epsilon} \def\norme#1{\left\Vert#1\right\Vert} \def\normeinf#1{\left\Vert#1\right\Vert_\infty} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\dsum}{\displaystyle \sum} \newcommand{\dint}{\displaystyle \int} \newcommand{\dlim}{\displaystyle \lim} \newcommand{\dprod}{\displaystyle \prod} \newcommand{\dsup}{\displaystyle \sup} \newcommand{\Id}{\mathrm{Id}} \newcommand{\ide}{\Id_E} \newcommand{\Ima}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{\ima}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} % \newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits} % \newcommand{\dim}{\mathop{\mathrm{dim}}\nolimits} \newcommand{\codim}{\mathop{\mathrm{codim}}\nolimits} \newcommand{\mat}{\mathop{\mathrm{mat}}\nolimits} % \newcommand{\Vect}{\mathop{\mathrm{Vect}}\nolimits} \newcommand{\card}{\mathop{\mathrm{card}}\nolimits} \newcommand{\tr}{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} % \newcommand{\rg}{\mathop{\mathrm{rg}}\nolimits} \newcommand{\Det}{\mathrm{Det}} \newcommand{\com}{\mathrm{com}} \newcommand{\diag}{\mathop{\mathrm{diag}}\nolimits} \newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}} \newcommand{\pisd}{\frac{\pi}2} \def\Max{\mathop{\rm max}\limits} \def\interieur#1{{\buildrel\circ\over{#1}}} \def\Interieur#1{{\buildrel\circ\over{#1}}} \newcommand{\Norme}[1]{| \mkern-2mu | \mkern-2mu | {#1} | \mkern-2mu | \mkern-2mu |} \def\adherence#1{\mkern0.5mu\overline{\mkern-0.5mu#1\mkern0.5mu}\mkern-0.5mu} \def\systeme#1{\left\{ \begin{aligned}#1\end{aligned}\right.} \newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}}% \newcommand{\mi}{\mathrm{i}}% \newcommand{\inter}[1]{[\![#1 ]\!]} \newcommand{\LS}{\mathscr{L}} \newcommand{\LE}{\LS(E)} \newcommand{\LF}{\LS(F)} \newcommand{\LEF}{\LS(E,F)} \newcommand{\Mat}{\mathbb{M}\hspace{1pt}} \newcommand{\MnR}{\Mat_n(\R)} \newcommand{\MpR}{\Mat_p(\R)} \newcommand{\MnC}{\Mat_n(\C)} \newcommand{\MnK}{\MM_n(\K)} \newcommand{\MpK}{\Mat_p(\K)} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\GLn}{\GL_n} \newcommand{\GLp}{\GL_p} %\newcommand{\GLE}{\GL(E)} \newcommand{\GLnR}{\GL_n(\R)} \newcommand{\GLnC}{\GL_n(\C)} \newcommand{\GLnK}{\GL_n(\K)} \newcommand{\GLpK}{\GL_p(\K)} \newcommand{\GLE}{\mathscr{G}\ell (E)} \newcommand{\fonct}[5]{#1: \left\{ \begin{array}{rcl} #2 & \longrightarrow & #3 \\ #4 & \longmapsto & #5 \end{array} \right.} \newcommand{\paren}[1]{\left( #1 \right)} \def\sk{\smallskip} \def\mk{\medskip} \def\bk{\bigskip} %\makeatletter \newcommand{\trans}{\@ifnextchar A{{}^t\!}{\@ifnextchar J{{}^t\!}{{}^t}}} %\makeatother \DeclareMathOperator*{\mypetito}{o} \DeclareMathOperator*{\mygrando}{O} %\newcommand{\petito}{\mypetito\limits} \newcommand{\petito}[1][]{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{\mypetito\limits} {{\mypetito\limits_{#1}}}} %\newcommand{\grando}{\mygrando\limits} \newcommand{\grando}[1][]{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{\mygrando\limits} {{\mygrando\limits_{#1}}}} \newcommand{\paf}[2]{\left( \dfrac{#1}{#2} \right)} \newcommand{\scal}[2]{\langle\,#1\,,\,\,#2\,\rangle} \newcommand{\pmatrice}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\bmatrice}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \newcommand{\vmatrice}[1]{\begin{vmatrix}#1\end{vmatrix}} \newcommand{\smatrice}[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)} \newcommand{\smat}[2]{\scalebox{#1}{$\begin{pmatrix}#2\end{pmatrix}$}} %\newcommand{\systeme}[1]{\left\{\begin{matrix}#1\end{matrix}\right.} %\newcommand{\determinant}[1]{\begin{vmatrix}#1\end{vmatrix}} %\newcommand{\sdet}[1]{\left|\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right|} \def\fv{\big\updownarrow} \def\fh{\longleftrightarrow} $$

Séries entière

Dans ce chapitre on va étudier les séries entières, une branche des séries de fonctions. La spécificité de ce branche vient du faite suivant: dans une série entière les fonctions $f_n$ sont des polynômes, et donc les sommes partielles le sont aussi. Ceci rend les études des séries entières plus simple.
Les applications des séries entières sont divers, on peut citer par exemple:

  1. L'étude de certaines équations différentielles (c.f. Chapitre Equations différentielles, section utilisation des séries entières), ou l'on essaie de trouver une solution développable en série entière.
  2. La définition d'une fonction génératrice pour une VAD (c.f. Chapitre VAD, section fonction génératrice), ou l'on associé à une VAD une série entière.
On ne peut pas oublier également que la plus part des fonction usuelles sont des fonctions développable en série entières, ceci est très pratique en particulier pour calculer des intégrales (c.f. chapitre théorème de convergence dominé exercice \ref{Ex:EgIntSomme}).

Définitions, généralités

On appelle série entière toute série d'applications $\dsum_{n\geq 0}(f_n:\C\longmapsto\C)$ telle qu'il existe une suite complexe $(a_n)_n$ telle que: $$\forall n\in \N,~~\forall z\in \C,~~f_n(z)=a_nz^n.$$

Remarques

  • Les $a_n$ sont appelles les coefficients de la série entière.
  • En générale, on note une série entière par $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ au lieu de $\dsum_{n\geq 0}(f_n:z\longmapsto a_nz^n)$.

Exemples

  1. Un polynôme est une série entière...
  2. $\dsum_{n\geq 0}z^{2n}$, $\quad\forall n\in \N,\,a_{2n}=1$ et $a_{2n+1}=0$.
  3. $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{z^n}{n!}, \quad\forall n\in \N,\,\,a_n=\dfrac{1}{n!}$
  4. $\dsum_{n\geq 2}\dfrac{z^n}{n(n-1)},\quad a_0=a_1=0,\,\forall n\in \N\setminus\{0,1\},\, a_n=\dfrac{1}{n(n-1)}$.

Rien

(CCP 2018 (écrit))
Cette partie était l'occasion de tester l'aisance des candidats avec les séries entières. Les correcteurs constatent qu'il s'agit d'un thème difficile et mal maîtrisé pour de nombreux candidats.

Rayon de convergence

Définition

(Lemme d'Abel)
Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière. Si la série converge pour un nombre complexe $z_0\neq 0$ alors elle absolument convergente pour tout $z\in \C$ vérifiant $\abs{z}< \abs{z_0}$.

Remarque

Dans le théorème précédent, il suffit de supposer que la suite $(a_nz_0^n)_{n\in \N}$ est bornée.

  • $\ii$) Pour tout $z\in \C$ vérifiant $\abs{z}< R$ la série est absolument convergente.
  • $\ii\ii$) Pour tout $z\in \C$ vérifiant $\abs{z}>R$ la série est divergente.

Étant donnée une série entière $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$, l'unique nombre $R$ vérifiant les conditions $\ii)$ et $\ii\ii)$ du théorème précédent est appelé le rayon de convergence de la série .

On appelle également l'ensemble $D(0,R)=\{z\in \C,\,\abs{z}< R\}$ le disque du convergence et l'ensemble $\{z\in \C,\,\abs{z}=R\}$ le cercle du convergence (ou le cercle d'incertitude). On remarque que sur ce dernier ensemble tout peut arriver (voir exemples ci-après).

Disque de convergence
Exemples

  1. La série $\dsum_{n\geq 0}z^n$ a pour rayon de convergence $1$ et $\dsum_{n\geq 0}z^n$ diverge pour tout $z\in\C$ tel que $\abs{z}=1$.
  2. La série $\dsum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n}$ a pour rayon de convergence $1$ et $\dsum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n}$ converge pour tout $z\in\C$ tel que $\abs{z}=1$ et $z \neq 1$.
  3. La série $\dsum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n^2}$ a pour rayon de convergence $1$ et $\dsum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n^2}$ converge pour tout $z\in\C$ tel que $\abs{z}=1$.

Rien

(CCP 2018 (écrit))
Très peu ont su restituer correctement la définition du rayon de convergence d'une série entière à la question Q19. Beaucoup ont affirmé que le rayon de convergence est un nombre réel R tel que pour tout $x \in ] - R, R [$ la série entière converge.
Pour d'autres, le rayon de convergence est un nombre complexe et suivent alors des inégalités avec des nombres complexes. Il n'est pas rare de lire que le rayon de convergence est un intervalle.

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors les séries entières $\dsum_{n\geq 1 } na_nz^{n-1}$ et $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{a_n}{n+1}z^n$ ont le même rayon de convergence $R$.

Détermination du rayon de convergence

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Soit $z_0\in \C$, alors:

  • Si la suite $(a_nz_0^n)_{n\in \N}$ est bornée alors $R\geq \abs{z_0}$.
  • Si la série $\dsum a_nz_0^n$ diverge alors $R\leq \abs{z_0}$.


Calculer le rayon de convergence de la série entière $\dsum a_n z^{2n}$, sachant que celui de $\dsum a_nz^n$ vaut $R$.

Correction

On pose $u=z^2$ alors la série $\dsum a_n u^n$ converge pour $u$ tel que $\abs{u}< R$. Puisque $u=z^2$, la série $\dsum a_n z^{2n}$ converge pour $\abs{z}< \sqrt{R}$ et diverge pour $z$ tel que $\abs{z}>\sqrt{R}$.
On en déduit que le rayon de convergence demandé est $\sqrt{R}$ (avec la convention $\sqrt{\infty}=\infty$).

Soient $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ et $\dsum_{n\geq 0}b_nz^n$ deux séries entières de rayons de convergence respectivement $R_a$ et $R_b$.

  1. Si, pour tout $n\in \N$ (au moins à partir d'un certain rang), $\abs{a_n}\leq \abs{b_n}$ alors $R_a\geq R_b$.
  2. Si $a_n=\mathrm{O}(b_n)$ alors $R_a\geq R_b$.
  3. Si $\abs{a_n}\thicksim \abs{b_n}$ alors $R_a=R_b$.

Exemples

  1. Le rayon de convergence de la SE $\dsum_{n\geq 0}\left(\sqrt[3]{n^3+n+2}-\sqrt{n^2+1}\right) z^n$ égale $1$. En effet, on a $$\sqrt[3]{n^3+n+2}-\sqrt{n^2+1}=n\left(1+\dfrac{1}{3n^2}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)-n\left(1+\dfrac{1}{2n^2}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\underset{n\,\infty}{\sim}\dfrac{-1}{6n}$$ On en déduit que les séries entières $\dsum_{n\geq 0}\left(\sqrt[3]{n^3+n+2}-\sqrt{n^2+1}\right) z^n$ et $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{-z^n}{6n}$ ont le même rayons de convergence.
  2. Le rayon de convergence de la SE $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\sh(n)}{n(n+1)}z^n$ égale $\dfrac{1}{\ee}$. En effet, on a $\dfrac{\sh(n)}{n(n+1)}\underset{n\,\infty}{\sim}\dfrac{\ee^n}{2n^2}$, et le rayon de convergence de la SE $\dsum \dfrac{\ee^nz^n}{n^2}$ est égale à $1/\ee$.

Règle d'Alembert Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière. On suppose que $a_n\neq 0$ à partir d'un certain rang et $\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}\tendvers{n}{\infty}\ell$. Alors le rayon de convergence de la série est donné par: $$R=\left\{\begin{array}{lcl} \dfrac{1}{\ell}&\mbox{ si } &\ell\in ]0,\infty[,\\ 0&\mbox{ si }&\ell =\infty,\\ \infty&\mbox{ si }&\ell=0. \end{array} \right.$$

Remarques

  • Avant d'utiliser la règle d'Alembert, il fat s'assurer que $a_n\neq 0$ (au moins à partir d'un certain rang).
  • Une série entière peut avoir $R$ comme rayon de convergence sans que $\dsp\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ existe. Considérons par exemple $a_{2n+1}=\dfrac{1}{n+1}$ et $a_{2n}=n+1$, alors $a_n>0$ et la limite de $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ n'existe pas, et pourtant le rayon de convergence de $\dsum a_nz^n$ égale à $1$.

Rien

(CCP 2016)
En ce qui concerne les séries entières, rappelons qu'il n'y a pas que la règle de d'Alembert !
Et encore moins une pseudo réciproque de cette règle qui est pourtant très souvent utilisée à tort.


Calculer le rayon de convergence de la série $\dsum \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$.

Correction

On ne peut pas appliquer la règle de d'Alembert ici car $a_{2n+1}=0$. En revanche, pour $z\in \C$ non nul, on pose $u_n=\dfrac{\abs{z}^{2n}}{(2n)!}$, alors $u_n\neq 0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\tendversN\,0$, donc d'après la règle d'Alembert pour les séries numériques, $\dsum \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$ est absolument convergente, donc $R=\infty$.

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière, on suppose qu'il existe $F\in \C(X)$ ( i.e. $F=\frac{P}{Q}$ avec $P,Q\in \C[X]$ avec $Q\neq 0$) non nul tel que, pour tout $n\in \N$ on a $a_n=F(n)$.
Alors le rayon de convergence de $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ est $1$.

Exemple

Les séries $\dsum_{n\geq 0}n^3z,\,\,\dsum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n}z^n,\,\,\dsum_{n\geq 0}\dfrac{n^2+2n}{n^4+n+\sqrt{2}}z^n$ sont de rayon de convergence $1$.

Fonction définie par une série entière

On dit que la série de fonctions $\dsum u_n$ converge

  • simplement sur $D$ si, pour tout $z\in D$, la série $\dsum u_n(z)$ converge dans $\C$.
  • normalement sur $D$ si, pour tout $n\in \N$, $u_n$ est bornée sur $D$ et $\dsum_{n\geq 0}\norme{u_n}_\infty$ converge.

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et $K$ un fermé borné inclus dans $D(0,R)$.
Alors la série de fonctions $\dsum_{n\geq 0}u_n$ (avec $u_n(z)=a_nz^n$) converge normalement sur $K$.

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$.
Alors la somme $S:z\in D(0,R)\longmapsto \dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ est continue sur $D(0,R)$.

Opérations sur les séries entières

Soient $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ et $\dsum_{n\geq 0}b_nz^n$ deux séries entières de rayons de convergence respective $R_a$ et $R_b$.
Alors le rayon de convergence $R$ de la série $\dsum_{n\geq 0} (a_n+b_n)z^n$ vérifie $R\geq \min\{R_a,R_b\}$ avec égalité si $R_a\neq R_b$.

Soient $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ et $\dsum_{n\geq 0}b_nz^n$ deux séries entières de rayons de convergence et de somme respective $R_a$, $R_b$ et $S_a$, $S_b$. On note $S_{a+b}$ la somme de la série $\dsum_{n\geq 0} (a_n+b_n)z^n$. Alors, $$\forall z\in \C,~~\abs{z}< \min\{R_a,R_b\}\Longrightarrow S_{a+b}(z)=S_a(z)+S_b(z).$$

Soient $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ et $\dsum_{n\geq 0}b_nz^n$ deux séries entières de rayons de convergence respective $R_a$ et $R_b$.
On considère la série $\dsum_{n\geq 0}c_nz^n$ avec $c_n$ définie par: $$ c_n=\dsum_{i+j=n}a_ib_j=\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}=\dsum_{i=0}^na_{n-i}b_i.$$ $\dsum c_nz^n$ est appelé le produit de Cauchy de deux séries $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ et $\dsum_{n\geq 0}b_nz^n$.
Alors le rayon de convergence $R$ de la série $\dsum_{n\geq 0} c_nz^n$ vérifie $R\geq \min\{R_a,R_b\}$.

Soient $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ et $\dsum_{n\geq 0}b_nz^n$ deux séries entières de rayons de convergence et de somme respective $R_a$, $R_b$ et $S_a$, $S_b$. On note $S_{c}$ la somme de la série $\dsum_{n\geq 0} (c_n)z^n$ (la série produit). Alors, $$\forall z\in \C,~~\abs{z}< \min\{R_a,R_b\}\Longrightarrow S_{c}(z)=S_a(z)S_b(z).$$

Remarque

Il se peut que $R_c\neq \min\{R_a,R_b\}$ même si $R_a\neq R_b$, comme le montre l'exemple suivant.

Exemple

Considérons les deux séries $\dsum_{n\geq 0}z^n$ et $1-z$, on a, $$\forall n\in \N,~~a_n=0,~~b_0=1,b_1=-1 \mbox{ et } \forall k\geq 2,~~b_k=0.$$ On a : $c_0=1$ et $c_n=0$ pour tout $n\geq 1$. On en déduit que $R_c=\infty=R_b$ tandis que $R_a=1$.

Séries entière de la variable réelle

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. On note $f$ sa somme sur $]-R,R[$.
Si $\dsum_{n\geq 0}a_nR^n$ (resp. $\dsum_{n\geq 0}a_n(-R)^n$) alors $f$ est continue sur $[0,R]$ (resp. $[-R,0]$).

L'unique primitive de la fonction $f$ sur $]-R,R[$ qui s'annule en $0$ est la fonction somme de la série $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}$.
On peut intégrer terme à terme les séries entières, ou encore, $$\forall x\in ]-R,R[,\quad\int_0^xf(t)\ud t =\dsum_{n\geq 0} \dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}$$

La fonction $f$ est de classe $\CC^1$ sur l'intervalle $]-R,R[$ de plus, $$\forall x\in ]-R,R[,~~f'(x)=\dsum_{n\geq 1 } na_nx^{n-1}.$$

$f$ est de classe $\CC^\infty$ sur $]-R,R[$, de plus $$\forall k\in \N,~~\forall x\in ]-R,R[,~~f^{(k)}(x)=\dsum_{n\geq k}\dfrac{n!}{(n-k)!}a_nx^{n-k}.$$

Soit $\dsum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$, on note $f$ sa somme sur $]-R,R[$. Alors $$\forall k\in \N,~~a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}.$$

Développements en séries entières

On dit que $f$ est développable en série entière sur $]-r,r[$ si $f$ est la somme d'une série entière $\dsum_{n\geq 0}a_nx^n$ de rayon de convergence $R\geq r$.

Exemples

  1. $\forall x\in ]-1,1[,~~\dfrac{1}{1-x}=\dsum_{n\geq 0}x^n$.
  2. $\forall x\in ]-1,1[,~~\ln(1+x)=\dsum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}$.

Remarque

Si $f$ est DSE sur $]-r,r[$ alors $f$ est de classe $\CC^\infty$ sur cet intervalle et d'après l'unicité du développement en série entière, les coefficient de sa série entière sont données par $$\forall n\in \N,~~a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$

Soit $f:]-r,r[\longmapsto \C$ une fonction de classe $\CC^\infty$. On appelle série de Taylor de $f$ (en $0$) la série entière $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$.

Remarque

Si $f$ est DSE sur $]-r,r[$, alors $f$ ne peut être que la somme de sa série de Taylor.
La question qui se pose si $f\in \CC^\infty(]-r,r[)$, sur la convergence de la série de Taylor de $f$, seule candidate pour sa somme est $f$, et le problème qui se pose est l'égalité entre sa somme et $f$.

Exemples

  1. Soit $f:\R\longmapsto\R$ définie par $f(x)=\ee^{\frac{-1}{x^2}}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. On peut montrer facilement que $f\in \CC^\infty$ et que $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n\in \N$.
    Ainsi la série de Taylor de $f$ est la série nulle (de rayon de convergence infinie), mais sa somme ne coïncider avec $f$ qu'en $0$.
  2. Soit $f$ définie par $f(x)=\dsum_{n\geq 0}\ee^{-n}\cos(n^2x)$

Soit $f:I\longmapsto\R$ une fonction de classe $\CC^\infty$. Pour que $f$ soit DSE sur $I$, il faut et il suffit que: $$\forall x\in I,~~\limiteX{n}{\infty}\int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\dt=0$$ Dans ce cas le DSE de $f$ coïncide avec sa série de Taylor.
De plus le rayon de convergence $R$ vérifie $I\subset ]-R,R[$.


Soit $f:\R\longmapsto\R$ définie par $f(x)=\dsum_{n\geq 0}\ee^{-n}\sin(n^2x)$.
Montrer que $f\in \CC^\infty(\R)$ et que le développement en série de Taylor de $f$ en $0$ a un rayon de convergence nul.

Correction

On pose, pour $n\in \N$, $u_n(x)=\ee^{-n}\sin(n^2x)$ alors $u_n\in \CC^\infty(\R)$, de plus, $$\forall p\in \N,\quad \forall x\in \R,\,u_n^{(p)}(x)=n^{2p}\ee^{-n}\sin\left(n^2x+\frac{p\pi}{2}\right)\Longrightarrow \norme{u_n^{(p)}}_\infty=n^{2p}\ee^{-n}.$$ Ceci montre que $\dsum u_n^{(p)}$ est normalement convergente sur $\R$ donc uniformément convergente. On en déduit que $f\in \CC^\infty(\R)$.
Soit $p\in \N$, on a $$f^{(p)}(0)=\dsum_{n\geq 0}n^{2p}\ee^{-n}\sin\left(\frac{p\pi}{2}\right)\Longrightarrow \forall p\in \N,\quad \abs{f^{(2p+1)}(0)}=\dsum_{n\geq 0}n^{2(2p+1)}\ee^{-n}\geq (2p+1)^{2(2p+1)}\ee^{-2p-1}.$$

Soit $f:I\longmapsto \C$ on suppose que $f$ DSE en $0$.

  1. Si $f$ est paire, alors le DSE de $f$ est pair, i.e., pour tout $n\in \N$, $a_{2n+1}=0$.
  2. Si $f$ est impaire, alors le DSE de $f$ est impair, i.e., pour tout $n\in \N$, $a_{2n}=0$.

DSE classiques

Pour tout $x\in ]-1,1[$, $$\dfrac{1}{1-x}=\dsum_{n\geq 0}x^n,~~~~~~\dfrac{1}{1+x}=\dsum_{n\geq 0}(-1)^nx^n.$$

Pour tout $x\in ]-1,1[$, on a $$ \ln(1-x)=\dsum_{n\geq 1}\dfrac{-x^n}{n},~~~~~~ \ln(1+x)=\dsum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}.$$

Remarque

Si on note, pour $n\geq 1$, $f_n:[0,1]\longmapsto \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$ alors la série de fonction $\dsum_{n\geq 1}f_n$ converge uniformément sur l'intervalle $[0,1]$, sa somme $S$ est continue en $1$ puisque les $f_n$ le sont. On en déduit $$\dsum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=S(1)=\limiteX{x}{1^{-}}S(x)=\limiteX{x}{1^-}\ln(1+x)=\ln(2).$$

Pour tout $x\in \R$, $$\cos(x)=\dsum_{n\geq 0}(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!},~~~~\sin(x)=\dsum_{n\geq 0}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

Pour tout $x\in \R$, $$\ch(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!},~~~~\sh (x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$


Soit $\alpha\in \R\setminus \N$. On considère la série entière $\dsum_{n\geq 0}a_nx^n$, avec $$ a_0=1,~~\forall n\geq 1,~~a_n=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}.$$

  1. Trouver le rayon de convergence de cette série.
  2. On note $f$ sa somme, montrer que $f$ vérifie une équation différentielle, puis trouver l'expression de $f$ en utilisant des fonctions usuelles.

Correction

Soit $x\in \R^*$, puisque $\alpha\not\in \N$, alors $a_n\neq 0$. On a $$\forall n\geq 1,~~\abs{\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}}=\abs{\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha -n)}{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}}\dfrac{\abs{x}}{n+1}=\abs{\dfrac{\alpha-n}{n+1}x}\tendvers{n}{\infty}\abs{x}.$$ On en déduit que le rayon de convergence $R=1$.
Notons alors $f$ la somme de cette série entière, on a $f\in \CC^\infty(]-1,1[)$, de plus, $$ \forall x\in ]-1,1[,~~f'(x)=\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\alpha\cdots(\alpha-n+1)}{(n-1)!}x^{n-1}=\alpha+\dsum_{n\geq 1}(\alpha-n)a_nx^n.$$ En séparant ce dernier somme en deux, on trouve: $$\forall x\in ]-1,1[,~~f'(x)=\alpha+\alpha\dsum_{n\geq 1}a_nx^n-\dsum_{n\geq 1}na_nx^n.$$ Soit encore, $$\forall x\in ]-1,1[,~~f'(x)=\alpha f(x)-xf'(x).$$ On en déduit que $f$ vérifie l'équation différentielle suivante: $$\forall x\in ]-1,1[,~~(1+x)f'(x)=\alpha f(x),~~\mbox{ et } f(0)=1.$$ La solution de cette équation nous donne $f(x)=(1+x)^\alpha$.

Soit $\alpha\in \R$, on a: $$\forall x\in ]-1,1[,~~(1+x)^\alpha=1+\dsum_{n\geq 1}\dfrac{\alpha\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^n.$$ De plus si $\alpha\in \N$, l'égalité ci-dessus est valable pour tout $x\in \R$.

Pour tout $x\in ]-1,1[$, on a: $$\Arctan(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1},~~\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}.$$

Remarque

On peut montrer que $$\dsum_{n\geq 0}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}=\limiteX{x}{1^{-}}\Arctan(x)=\dfrac{\pi}{4}.$$


Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière :$\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{(2n+1)(n+1)}$.

Correction

En utilisant la règle d'Alembert, on a $R=1$, d'autre part, on a: $$\forall n\in \N,~~\dfrac{1}{(n+1)(2n+1)}=\dfrac{2}{2n+1}-\dfrac{1}{n+1},$$ Les séries entières $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}x^n$ et $\dsum_{n\geq 0}\dfrac{-1}{n+1}x^n$ ont le même rayon de convergence.
On note, pour $x\in ]-1,1[$, $f(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{(2n+1)(n+1)}$, $A(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}x^n$ et $B(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{-1}{n+1}x^n$. On a alors: $f(x)=A(x)+B(x)$.
Calcul de $A$:
Pour $x\in ]0,1[$, on pose $t=\sqrt{x}$ ce qui donne: $$A(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}x^n=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2}{2n+1}t^{2n}=\dfrac{1}{t}\ln\left(\dfrac{1+t}{1-t}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right).$$ Pour $x\in ]-1,0[$, on pose $u=\sqrt{-x}$, d'où $$A(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{2(-1)^nu^{2n}}{2n+1}=\dfrac{2}{u} \Arctan(u)=\dfrac{2}{\sqrt{-x}}\Arctan(\sqrt{-x}).$$ Enfin, pour $x=0$, on a $A(0)=2$.
Calcul de $B$:
Pour $x\in ]0,1[\setminus\{0\}$, on a: $$B(x)=\dsum_{n\geq 0}\dfrac{-1}{n+1}x^n=\dfrac{1}{x}\dsum_{n\geq 0}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{x}\ln(1-x).$$ et $B(0)=-1$.
On en déduit, $$\forall x\in ]-1,1[,~~f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \dfrac{2}{\sqrt{-x}}\Arctan(\sqrt{-x})+\dfrac{1}{x}\ln(1-x)~~&\mbox{ Si }~~x\in ]-1,0[\\ &\\ 1 &\mbox{ Si }~~x=0\\ &\\ \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)+\dfrac{1}{x}\ln(1-x)~~&\mbox{ Si }~~x\in ]-1,0[\\ \end{array} \right.$$